2013-湖北卷文-17 填-格点多边形

本题导读

本题考查新定义，以及方程组。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 在平面直角坐标系中，若点 $P(x,y)$ 的坐标 $x$，$y$ 均为整数，则称点 $P$ 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形，格点多边形的面积为 $S$，其内部的格点数记为 $N$，边界上的格点数记为 $L$. 例如图中 $△ABC$ 是格点三角形，对应的 $S=1$，$N=0$，$L=4$.

(1)图中格点四边形 $DEFG$ 对应的 $S$，$N$，$L$ 分别是 $\underline{}$ ；

(2)已知格点多边形的面积可表示为 $S=aN+bL+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为常数. 若某格点多边形对应的 $N=71$，$L=18$，则 $S=$ $\underline{}$ .（用数值作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）数格点：$S=3$，$N=1$，$L=6$。
2. （2）$△ABC$：$4b+c=1$；自造 $1\times 2$ 矩形（$S=2,N=0,L=6$）：$6b+c=2$ → $b=\frac{1}{2}$，$c=-1$；代入 DEFG：$a+6\times \frac{1}{2}-1=3$ → $a=1$。
3. $S=N+\frac{L}{2}-1=71+9-1=79$。

✅【答案】

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(1)$S=3$，$N=1$，$L=6$；(2)$79$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由图直接数：四边形 $DEFG$ 面积 $S=3$，内部格点 $N=1$，边界格点 $L=6$。 （2）由 $△ABC$（$S=1$，$N=0$，$L=4$）： $4b+c=1.\text{(1)}$ 自造一个 $1\times 2$ 的格点矩形：$S=2$，$N=0$，$L=6$： $6b+c=2.\text{(2)}$ ①②联立得 $b=\frac{1}{2}$，$c=-1$。 再代入 $DEFG$（$S=3$，$N=1$，$L=6$）： $a+\frac{6}{2}-1=3\Rightarrow a=1.$ 所以 $S=N+\frac{L}{2}-1$（即皮克定理）。 当 $N=71$，$L=18$ 时： $S=71+\frac{18}{2}-1=71+9-1=79.$ 故答案为（1）$S=3$，$N=1$，$L=6$；（2）$79$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：格点多边形与皮克定理（新定义）

核心方法：由 △ABC（$S=1,N=0,L=4$）与补一个 $1\times 2$ 矩形（$S=2,N=0,L=6$）定出 $b=\frac{1}{2}$，$c=-1$，再由 DEFG（$S=3,N=1,L=6$）得 $a=1$，即 $S=N+\frac{L}{2}-1$；$N=71$，$L=18$ → $S=79$

避坑指南：两个例子只有两个方程、三个未知数——需自造一个格点多边形（如 $1\times 2$ 矩形）补第三个方程；$S=N+\frac{L}{2}-1$ 就是皮克定理，边界点 $L$ 只计一半——直接 $S=N+L-1$ 代 $71+18-1=88$ 是常见错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义（格点多边形）与方程组（皮克定理，湖北卷填空题压轴）。

结论推广：多例联立定系数；自构造特殊图形补方程。

方法推广：读两例列方程 → 自造图形补第三方程 → 解出 $S=aN+bL+c$ → 代值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-20 解-数列新定义
• 2013-山东卷文-16 填-正对数新定义
• 2013-浙江卷文-10 单-新定义运算