2007-大纲卷I理-14 填-对数函数指数函数互化

本题导读

本题考查互为反函数的几何对称性。两个函数的图象关于直线 $y=x$ 对称的数理充要条件是它们互为反函数，利用对数与指数的互化性质可直接写出答案。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 函数 $y=f(x)$ 的图像与函数 $y={\log }_{3}x(x>0)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则 $f(x)=$________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化几何对称条件：图象关于直线 $y=x$ 严格轴对称 $⟺$ 函数 $y=f(x)$ 是函数 $y={\log }_{3}x$ 的反函数。

2. 反函数代数求解：由 $y={\log }_{3}x$，将其反解转化为以 $y$ 为自变量的指数幂形式 $x=3^y$。 交换自变量与因变量符号即可。

✅【答案】

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$3^x$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为函数 $y=f(x)$ 的图象与对数函数 $y={\log }_{3}x$ 的图象关于一、三象限角平分线 $y=x$ 严格对称， 根据反函数的几何定义可知，函数 $f(x)$ 恰好就是对数函数 $y={\log }_{3}x$ 的反函数。

我们通过常规步骤求解 $y={\log }_{3}x$ 的反函数： 将对数式方程等价变形、反解，用因变量 $y$ 来表示自变量 $x$： $x=3^y$

按照反函数的书写规范，将自变量 $x$ 与因变量 $y$ 的字母对换位置，得到： $y=3^x$ 即： $f(x)=3^x$

由于原对数函数的定义域 $x>0$ 对应反函数的全值域 $y>0$，原对数函数的值域 $\mathbf{R}$ 对应反函数的定义域， 故其自变量 $x\in \mathbf{R}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：关于 $y=x$ 对称对应反函数、同底的指数函数与对数函数互为反函数。
2. 核心方法：概念直接转化法。
3. 避坑指南：

• 属于最基础的送分题，记住底数保持不变（均为 3），对数变指数即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：互为反函数的图象对称性、对数函数与指数函数的互化是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是互为反函数的图象对称性、对数函数与指数函数的互化的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用反函数对位直出法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式
• 2008-北京卷文-13 填-折线函数与导数
• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域