2008-北京卷文-13 填-折线函数与导数

本题导读

考查分段（折线）函数与导数几何意义。$f(f(0))=f(4)=2$；$x=1$ 处图象是线段 $AB$，斜率 $-2$ 即导数。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 如图，函数 $f(x)$ 的图象是折线段 $ABC$，其中 $A$，$B$，$C$ 的坐标分别为 $(0,4)$，$(2,0)$，$(6,4)$，则 $f(f(0))=$ $\underline{}$；函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数 $f^{\prime }(1)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(0)=4$（$A$ 点纵坐标），再求 $f(4)$：$x=4$ 在线段 $BC$ 上。
2. $BC$ 段：过 $(2,0)$、$(6,4)$，斜率 $1$，方程 $y=x-2$，$f(4)=2$。
3. $x=1$ 在线段 $AB$ 上，导数即 $AB$ 斜率 $\frac{0-4}{2-0}=-2$。

✅【答案】

点击查看答案

$2$；$-2$

✍【详细解析】

Abstract

由图象，$f(0)=4$. 线段 $BC$ 过点 $(2,0)$ 与 $(6,4)$，斜率为 $\frac{4-0}{6-2}=1$，方程为 $y=x-2$. 所以 $f(4)=4-2=2$，即 $f(f(0))=f(4)=2$. $x=1\in [0,2]$，函数图象为线段 $AB$，斜率为 $\frac{0-4}{2-0}=-2$，故 $f^{\prime }(1)=-2.$ 故答案为 $2$；$-2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：折线函数的复合值与导数

核心方法：$f(f(0))=f(4)=2$；$f^{\prime }(1)=$ 线段 $AB$ 斜率 $=-2$

避坑指南：复合值由内向外逐层读图；折线函数在节点处不可导，但节点之间导数就是所在线段的斜率；$x=1$ 落在 $AB$ 段内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“图象 + 导数几何意义”组合是北京卷特色，2009 北京文第 12 题、2010 湖北文第 3 题同型。

结论推广：$f^{\prime }(x_0)=$ 过该点图象切线斜率；线段上即斜率不变；$f(f(x_0))$ 先算 $f(x_0)$ 再代入。

方法推广：读图先定各段直线方程；验证所给点是否为折点（折点不可导）；复合值注意第二次代入时的取值范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-12 填-分段函数方程
• 2009-山东卷文-07 单-分段函数递推
• 2010-湖北卷文-03 单-分段函数求值
• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值