2007-大纲卷I理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望

本题导读

本题考查相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列及其数学期望。第一问利用对立事件简化“至少有1位”的概率计算；第二问通过建立付款期数 $\xi$ 与利润 $\eta$ 的函数映射关系，推导 $\eta$ 的分布列并求出期望。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期为 $\xi$ 的分布列为

$\xi$	1	2	3	4	5
$P$	0.4	0.2	0.2	0.1	0.1

商场经销一件该商品，采用 1 期付款，基利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，基利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元. $\eta$ 表示经销一件该商品的利润.

(1) 求事件 $A$: “购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 $P(A)$；

(2) 求 $\eta$ 的分布列及期望 $E\eta$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 设每位顾客采用 1 期付款的概率为 $p=0.4$，则不采用 1 期付款的对立概率为 $1-p=0.6$。
• “至少有 1 位”的对立面是“3位顾客均不采用 1 期付款”。
• 根据独立事件乘法公式求出对立概率，再用 1 减去该值。

2. 第二问：

• 根据题意，利润 $\eta$ 的可能取值为：200，250，300。

• 建立 $\xi$ 到 $\eta$ 的概率并集映射：

• $\eta =200$ 对应 $\xi =1$；

• $\eta =250$ 对应 $\xi =2$ 或 $\xi =3$；

• $\eta =300$ 对应 $\xi =4$ 或 $\xi =5$。

• 利用互斥事件加法公式算出各对应的概率，列出分布列并套用公式 $E\eta =\sum x_i{P}_i$ 计算期望。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）由表格可知，任意一位顾客采用 1 期付款的概率为: $P(\xi =1)=0.4$ 则该顾客不采用 1 期付款的对立概率为: $1-0.4=0.6$

事件 $A$ 的对立事件 $\overline{A}$ 为：“购买该商品的 3 位顾客中，没有任何一人采用 1 期付款”。 由于各位顾客的付款方式相互独立，根据独立事件的概率乘法公式： $P(\overline{A})=0.6\times 0.6\times 0.6=0.6^3=0.216$

根据对立事件性质，事件 $A$ 的概率为： $P(A)=1-P(\overline{A})=1-0.216=0.784$

（2）根据题意，经销一件该商品的利润 $\eta$ 的可能取值为：200 元、250 元、300 元。 各个取值所对应的互斥并集概率计算如下：

• 当 $\eta =200$ 时，对应顾客采用 1 期付款： $P(\eta =200)=P(\xi =1)=0.4$

• 当 $\eta =250$ 时，对应顾客分 2 期或 3 期付款： $P(\eta =250)=P(\xi =2)+P(\xi =3)=0.2+0.2=0.4$

• 当 $\eta =300$ 时，对应顾客分 4 期或 5 期付款： $P(\eta =300)=P(\xi =4)+P(\xi =5)=0.1+0.1=0.2$

(核校全概率和： $0.4+0.4+0.2=1.0$，概率闭环满足)

由此可列出随机变量 $\eta$ 的分布列为：

$\eta$	200	250	300
$P$	0.4	0.4	0.2

根据离散型随机变量数学期望的代数定义公式，计算 $E\eta$： $E\eta =200\times 0.4+250\times 0.4+300\times 0.2$ $E\eta =80+100+60=240\text{ 元}$

所以， $\eta$ 的数学期望 $E\eta$ 为 240 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对立事件转化率（ $1-P^n$）、互斥事件并集的加法准则、数学期望。
2. 核心方法：正难则反法、分布列归纳法。
3. 避坑指南：

• 第一问中若正面枚举“1人付款、2人付款、3人付款”需要拆解为三项 ${\text{C}}_3^1\cdot 0.4\cdot 0.6^2+{\text{C}}_3^2\cdot 0.4^2\cdot 0.6+{\text{C}}_3^3\cdot 0.4^3$，计算量大且容易遗漏组合数系数。凡看到“至少有1个”字眼，无条件直接开启对立事件法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查相互独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率计算，是全国大纲卷I(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（正难则反（对立事件法）、概率分布映射法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：相互独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率计算相互关联，解答中综合运用了正难则反（对立事件法）、概率分布映射法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2008-湖南卷理-16 解-分布列
• 2008-天津卷理-18 解-分布列
• 2008-江西卷理-18 解-分布列