2008-湖南卷理-16 解-分布列

本题导读

本题考查概率与统计中独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与期望的求解。解题的关键在于准确理解甲、乙、丙三人签约的独立与联动条件，并全面穷举随机变量的所有取值。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$，且面试是否合格互不影响.

求：

(1)至少有 1 人面试合格的概率；

(2)签约人数 $\xi$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用对立事件“三人面试都不合格”的概率，通过 $1-P(\text{全不合格})$ 求解。
2. 第二问：明确签约规则。甲独立签约（概率为 $\frac{1}{2}$）；乙丙联动签约（同时合格概率为 $\frac{1}{4}$）。分类讨论三人合格与否的各种组合，确定 $\xi$ 的所有可能取值（0, 1, 2, 3）及其对应概率，最后利用期望公式计算。

✅【答案】

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至少有1人面试合格的概率为78；𝑃(𝜉=0)=38，𝑃(𝜉=1)=38，

✍【详细解析】

Abstract

解： 记甲、乙、丙面试合格的事件分别为 $A,B,C$，由题意可知 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$，且三者相互独立。

(1)“至少有 1 人面试合格”的对立事件为“三人都面试不合格”。 由于每人面试不合格的概率均为 $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$， 所以三人都失败的概率为： $P_{\text{全失败}}=(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

故至少有 1 人面试合格的概率为： $P=1-P_{\text{全失败}}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$

(2)依题意，签约人数 $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3。 乙、丙两人同时面试合格并签约的概率为 $P(BC)=P(B)P(C)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$； 乙、丙不同时合格（即不签约）的概率为 $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。

• 当 $\xi =0$ 时，表示无人签约，即甲不合格，且乙、丙不同时合格： $P(\xi =0)=(1-P(A))\cdot (1-P(B)P(C))=\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$
• 当 $\xi =1$ 时，表示只有 1 人签约，根据规则只能是甲合格签约，而乙、丙不同时合格： $P(\xi =1)=P(A)\cdot (1-P(B)P(C))=\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$
• 当 $\xi =2$ 时，表示有 2 人签约，根据规则只能是甲不合格不签约，而乙、丙同时合格签约： $P(\xi =2)=(1-P(A))\cdot P(B)P(C)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{8}$
• 当 $\xi =3$ 时，表示 3 人全部签约，即甲合格签约，且乙、丙同时合格签约： $P(\xi =3)=P(A)\cdot P(B)P(C)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{8}$

因此，$\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

$\xi$ 的数学期望为： $E\xi =0\times \frac{3}{8}+1\times \frac{3}{8}+2\times \frac{1}{8}+3\times \frac{1}{8}=\frac{3+2+3}{8}=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对立事件概率计算；离散型随机变量分布列的完整性（概率和为1）。
2. 核心方法：联动条件拆解法。将多元复杂的决策模型拆分为“甲”与“乙丙组合”两个独立的单元进行乘法组合。
3. 避坑指南：第(2)问极易在分析 $\xi =2$ 时出错。由于乙丙绑定，签约人数不可能单独为 2（即不可能出现甲和乙签而丙不签），只有可能是乙丙两人签且甲不签这一种路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是基于传统古典概型与独立事件分布列设计的博弈签约应用题，将人际之间的合作条件转化为概率论中的交集运算。
2. 结论推广: 针对本题的期望求解，亦可应用期望的线性性质直接秒杀：设甲、乙、丙签约的指示变量分别为 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$，则 $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3$。因为 $E{\xi }_1=\frac{1}{2}$， $E{\xi }_2=E{\xi }_3=\frac{1}{4}$，故 $E\xi =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率