2007-大纲卷I理-20 解-利用二阶导数判定单调性

本题导读

本题考查导数的性质及其在不等式恒成立问题中的应用。第一问通过直接求导并结合基本不等式证明导数的下界；第二问利用第一问的结论，通过构造辅助函数并对参数 $a$ 进行分类讨论，结合单调性确定参数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 设函数 $f(x)={\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}$.

(1) 证明: $f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)\ge 2$；

(2) 若对所有 $x\ge 0$ 都有 $f(x)\ge ax$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：对原函数 $f(x)={\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}$ 求导，得到 $f^{\prime }(x)={\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}$。由于 ${\text{e}}^x>0$，直接运用基本不等式 $2\sqrt{{\text{e}}^x\cdot {\text{e}}^{-x}}$ 即可得证。
2. 第二问：

• 构造辅助函数 $g(x)=f(x)-ax={\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}-ax$。题目要求对所有 $x\ge 0$ 都有 $g(x)\ge g(0)=0$。

• 求导得 $g^{\prime }(x)={\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-a$。由第一问可知 ${\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}\ge 2$。

• 对参数 $a$ 进行分类讨论：

• 若 $a\le 2$，则 $g^{\prime }(x)\ge 2-a\ge 0$ 恒成立，函数在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，满足条件。

• 若 $a>2$，由于 $g^{\prime }(0)=2-a<0$，根据连续性在 0 的右邻域内导数小于 0，函数会先减后增，导致部分值小于 0，不合题意。

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参数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,2]$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）证明：对函数 $f(x)={\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}$ 进行求导： $f^{\prime }(x)=({\text{e}}^x{)}^{\prime }-({\text{e}}^{-x}{)}^{\prime }={\text{e}}^x-(-{\text{e}}^{-x})={\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}$

因为对任意实数 $x$，恒有 ${\text{e}}^x>0$ 且 ${\text{e}}^{-x}>0$。 根据基本不等式（均值不等式），可得： $f^{\prime }(x)={\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}\ge 2\sqrt{{\text{e}}^x\cdot {\text{e}}^{-x}}=2\sqrt{{\text{e}}^0}=2$ 当且仅当 ${\text{e}}^x={\text{e}}^{-x}$ 即 $x=0$ 时，等号成立。 所以， $f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)\ge 2$ 获证。

（2）解：由题意，对所有 $x\ge 0$ 都有 $f(x)\ge ax$ 恒成立。 构造辅助函数： $g(x)=f(x)-ax={\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}-ax(x\ge 0)$ 易知 $g(0)={\text{e}}^0-{\text{e}}^0-0=0$。 不等式 $f(x)\ge ax$ 恒成立等价于函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上的绝对最小值满足 $g(x{)}_{\text{min}}\ge g(0)=0$。

对辅助函数 $g(x)$ 进行求导： $g^{\prime }(x)={\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-a$ 由（1）可知，对任意 $x\in \mathbf{R}$，均有 ${\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}\ge 2$。下面对参数 $a$ 的取值范围展开分类讨论：

• 情况一：当 $a\le 2$ 时 因为 ${\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}\ge 2$，所以： $g^{\prime }(x)={\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-a\ge 2-a\ge 0$ 因为 $g^{\prime }(x)\ge 0$ 在区间 $[0,+\infty )$ 上恒成立（仅在 $x=0$且$a=2$时变零），所以函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上是一个严格的单调递增函数。 因此，对任意的 $x\ge 0$，恒有： $g(x)\ge g(0)=0$ 这表明当 $a\le 2$ 时，不等式完全合规恒成立。

• 情况二：当 $a>2$ 时 在起点 $x=0$ 处，导数的值为： $g^{\prime }(0)={\text{e}}^0+{\text{e}}^0-a=2-a<0$ 由于导函数 $g^{\prime }(x)={\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-a$ 是一个连续函数，且在其定义域上单调递增。 由 $g^{\prime }(0)<0$ 且 ${\lim }_{x\to +\infty }{g}^{\prime }(x)=+\infty$ 可知，根据零点存在性定理，必然存在一个唯一的正实数 $x_0>0$，使得： $g^{\prime }(x_0)=0$ 从而当 $x\in (0,x_0)$ 时，恒有 $g^{\prime }(x)<0$。 这意味着函数 $g(x)$ 在区间 $(0,x_0)$ 上是严格单调递减的。 因此，对任意的 $x\in (0,x_0)$，必然有： $g(x)<g(0)=0$ 这与题目要求的“对所有 $x\ge 0$ 都有 $g(x)\ge 0$”产生刚性冲突，故 $a>2$ 不合题意，予以舍去。

综上所述，参数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,2]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式求最值、差分法构造辅助函数、利用一阶导数符号判定基底单调性、端点效应下的分类讨论。
2. 核心方法：构造函数讨论法。
3. 避坑指南：

• 第二问在论证 $a>2$ 不成立时，必须严密指出在起点右邻域内存在导数小于 0 的区间，从而导致函数局部递减跌破 0 边界。不能仅凭 $g^{\prime }(0)<0$ 就直接下结论， 规范叙述零点 $x_0$ 的存在性是大题拿满分的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查导数的运算法则、基本不等式 (AM-GM 不等式)，是全国大纲卷I(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（函数构造法、分类讨论驻点分析法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：导数的运算法则、基本不等式 (AM-GM 不等式)相互关联，解答中综合运用了函数构造法、分类讨论驻点分析法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.02 均值不等式
• 20.09 微分中值定理与高阶导数应用

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷文-21 解-三次型函数极值与大小比较
• 2015-四川卷文-21 解-导数零点
• 2018-全国卷III理-21 解-导数运算法则