2008-山东卷文-21 解-三次型函数极值与大小比较

本题导读

$f^{\prime }(x)=x(x+2)(e^{x-1}-1)$；$f^{\prime }(-2)=f^{\prime }(1)=0\Rightarrow a=-\frac{1}{3},b=-1$；$u(x)=e^{x-1}-x$ 在 $x=1$ 取最小 $0$，故 $f(x)⩾g(x)$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 设函数 $f(x)=x^2{e}^{x-1}+a{x}^3+b{x}^2$，已知 $x=-2$ 和 $x=1$ 为 $f(x)$ 的极值点.

(1)求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)讨论 $f(x)$ 的单调性；

(3)设 $g(x)=\frac{2}{3}{x}^3-x^2$，试比较 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的大小.

🔍【思路分析】

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(1)$f^{\prime }(-2)=12a-4b=0$，$f^{\prime }(1)=3+3a+2b=0\Rightarrow a=-\frac{1}{3},b=-1$. (2)$f^{\prime }(x)=x(x+2)(e^{x-1}-1)$，三个零点 $-2,0,1$ 分段穿根.(3)$h(x)=f(x)-g(x)=x^2(e^{x-1}-x)$，$e^{x-1}-x$ 在 $x=1$ 取最小值 $0$.

✅【答案】

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(1)$a=-\frac{1}{3}$，$b=-1$ (2)$f(x)$ 在 $(-2,0)$ 和 $(1,+\infty )$ 上单调递增，在 $(-\infty ,-2)$ 和 $(0,1)$ 上单调递减 (3)对任意 $x\in (-\infty ,+\infty )$，都有 $f(x)⩾g(x)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$f^{\prime }(x)=2x{e}^{x-1}+x^2{e}^{x-1}+3a{x}^2+2bx=x{e}^{x-1}(x+2)+3a{x}^2+2bx$. 由 $f^{\prime }(-2)=0$ 得 $12a-4b=0$，即 $b=3a$；由 $f^{\prime }(1)=0$ 得 $3+3a+2b=0$. 联立解得 $a=-\frac{1}{3}$，$b=-1$. (2)此时 $f^{\prime }(x)=x(x+2)e^{x-1}-x^2-2x=x(x+2)(e^{x-1}-1)$. 当 $x<-2$ 时 $f^{\prime }(x)<0$；当 $-2<x<0$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；当 $0<x<1$ 时 $f^{\prime }(x)<0$；当 $x>1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$. 故 $f(x)$ 在 $(-2,0)$ 和 $(1,+\infty )$ 上单调递增，在 $(-\infty ,-2)$ 和 $(0,1)$ 上单调递减. (3)$f(x)-g(x)=x^2{e}^{x-1}-\frac{1}{3}{x}^3-x^2-\frac{2}{3}{x}^3+x^2=x^2(e^{x-1}-x)$. 设 $u(x)=e^{x-1}-x$，则 $u^{\prime }(x)=e^{x-1}-1$：$x<1$ 时 $u^{\prime }(x)<0$，$x>1$ 时 $u^{\prime }(x)>0$，故 $u(x)$ 在 $x=1$ 处取最小值 $u(1)=e^0-1=0$，即 $e^{x-1}⩾x$ 对任意 $x$ 成立. 从而 $f(x)-g(x)=x^2(e^{x-1}-x)⩾0$，即对任意 $x\in \mathbf{R}$，都有 $f(x)⩾g(x)$（当且仅当 $x=0$ 或 $x=1$ 时取等号）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数极值定参与恒成立比较

核心方法：极值点代入导数列方程组；穿根法写单调区间；差函数构造 $x^2(e^{x-1}-x)$ 用最值证恒成立

避坑指南：$$\begin{gathered} f^{ \\ prime}(x) \end{gathered}$$ 提公因式后是 $x(x+2)(e^{x-1}-1)$ 三个零点，分段穿根别漏 $x=0$；证 $$\begin{gathered} e^{x-1} \\ geqslantx \end{gathered}$$ 用 $u(x)$ 最小值 $u(1)=0$，注意取等条件

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$x^2{e}^x$ 型三次多项式极值与恒成立（2009 新课标Ⅰ文 21）

结论推广：推广到 $e^x⩾x+1$、$\ln x⩽x-1$ 等放缩链

方法推广：极值点列方程组、穿根写单调、差函数最值证恒成立，三段固定流程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-21 解-导数极值与恒成立
• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2009-辽宁卷文-21 解-导数切线单调与放缩
• 2009-陕西卷文-20 解-三次函数单调与交点