2007-大纲卷II文-06 单-向量定比分点

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及向量分解系数。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(文)） 在 $△ABC$ 中，已知 $D$ 是 $AB$ 边上一点，若 $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\lambda \overrightarrow{CB}$，则 $\lambda =$ ()

A. $\frac{2}{3}$　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　C. $-\frac{1}{3}$　　　　　　D. $-\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

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1. $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$ 说明 $D$ 分 $AB$ 为 $2:1$，$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$。
2. $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}$，再把 $\overrightarrow{AB}$ 用 $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$ 换掉，对照系数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$ 得 $D$ 在线段 $AB$ 上且 $AD:DB=2:1$，故 $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.$ 于是 $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}.$ 对照 $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\lambda \overrightarrow{CB}$，得 $\lambda =\frac{2}{3}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量定比分点

核心方法：用基底表示目标向量，对照系数

避坑指南：\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB} 说明 D 靠近 B，AD=\frac23 AB

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量线性运算与定比分点公式

结论推广：D 分 AB 成 m:n 时 \overrightarrow{AD}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}

方法推广：基底表示法可统一处理向量分解问题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷I文-05 单-向量定比分点
• 2008-四川卷文-03 单-向量坐标线性运算