2007-大纲卷II文-12 单-双曲线焦点与向量模

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与焦点，以及向量垂直与模。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(文)） 设 $F_1$，$F_2$ 分别是双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$ 的左、右焦点，若点 $P$ 在双曲线上，且 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=0$，则 $|\overrightarrow{P{F}_1}+\overrightarrow{P{F}_2}|=$ ()

A. $\sqrt{10}$　　　　　　　B. $2\sqrt{10}$　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. $2\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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1. $a=1$，$c^2=1+9=10$；$\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=0$ 说明 $P{F}_1\perp P{F}_2$。
2. $|\overrightarrow{P{F}_1}+\overrightarrow{P{F}_2}{|}^2=|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2+2\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2$。
3. 垂直时 $|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2=|F_1{F}_2{|}^2=(2c{)}^2=40$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$ 知 $a=1$，$b=3$，$c^2=a^2+b^2=10$，故 $|F_1{F}_2|=2c=2\sqrt{10}$． $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=0$ 即 $P{F}_1\perp P{F}_2$，$△F_{1}P{F}_2$ 为直角三角形，斜边为 $F_1{F}_2$，故 $|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2=|F_1{F}_2{|}^2=40.$ 而 $|\overrightarrow{P{F}_1}+\overrightarrow{P{F}_2}{|}^2=|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2+2\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=40+0=40,$ 所以 $|\overrightarrow{P{F}_1}+\overrightarrow{P{F}_2}|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，选 B． （本题不需要具体求出 $P$ 的位置：由定义 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2$ 与垂直条件联立可确认这样的 $P$ 存在。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦点与向量模

核心方法：垂直转数量积为零，模平方展开

避坑指南：垂直时 |PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2，用勾股关系而非直接求 P

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线定义与向量数量积

结论推广：两向量垂直则数量积为 0，|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2u\cdot v

方法推广：向量模与数量积结合时先平方展开

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练(Links)

• 2010-大纲卷II文-12 单-椭圆焦点弦定斜率
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率