2010-大纲卷II文-12 单-椭圆焦点弦定斜率

本题导读

考查椭圆焦点弦。由 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 设 $a=2,b=1,c=\sqrt{3}$，$y_1=-3y_2$ 配合韦达得 $1+4k^2=9$，$k=\sqrt{2}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，过右焦点 $F$ 且斜率为 $k$（$k>0$）的直线与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点.若 $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，则 $k=$()

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，取 $a=2,b=1,c=\sqrt{3}$，$F(\sqrt{3},0)$。
2. 设直线 $x=\frac{y}{k}+\sqrt{3}$，代入 $x^2+4y^2=4$：$\left(\frac{1}{k^2}+4\right)y^2+\frac{2\sqrt{3}}{k}y-1=0$。
3. $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}\Rightarrow y_1=-3y_2$。
4. $y_1+y_2=-2y_2$，故 $y_1{y}_2=-3y_2^2=-\frac{3}{4}(y_1+y_2{)}^2$，代入韦达化简得 $1+4k^2=9$。
5. $k^2=2$，$k=\sqrt{2}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得 $c^2=\frac{3}{4}{a}^2$，$b^2=\frac{1}{4}{a}^2$。 不妨取 $a=2$，$b=1$，$c=\sqrt{3}$，则椭圆为 $x^2+4y^2=4$，$F(\sqrt{3},0)$。 设直线为 $x=\frac{1}{k}y+\sqrt{3}$，代入椭圆方程整理得 $\left(\frac{1}{k^2}+4\right)y^2+\frac{2\sqrt{3}}{k}y-1=0.$ 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $y_1+y_2=\frac{-2\sqrt{3}k}{1+4k^2},y_1{y}_2=\frac{-k^2}{1+4k^2}.$ 由 $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$（纵坐标分量）得 $-y_1=3y_2$，即 $y_1=-3y_2$。 于是 $y_1+y_2=-2y_2$，$y_1{y}_2=-3y_2^2=-\frac{3}{4}(y_1+y_2{)}^2$，即 $\frac{k^2}{1+4k^2}=\frac{3}{4}\cdot \frac{12k^2}{(1+4k^2{)}^2}=\frac{9k^2}{(1+4k^2{)}^2},$ 化简得 $1+4k^2=9$，$k^2=2$。 因为 $k>0$，所以 $k=\sqrt{2}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆焦点弦的向量比例问题

核心方法：$y_1=-3y_2$ 配韦达，消去 $y_2$ 得 $k$ 的方程

避坑指南：$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$ 只取纵坐标分量最简；直线设成 $x=\frac{1}{k}y+c$（以 $y$ 为元）可避免讨论斜率且韦达式更短。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦点弦比例问题的通法：向量条件 $\Rightarrow$ 坐标关系 $\Rightarrow$ 韦达消元。

结论推广：离心率 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 意味着 $a:b:c=2:1:\sqrt{3}$，取特值 $a=2$ 不失一般性（$k$ 与相似比无关）。

方法推广：焦点弦长公式 $|AB|=\frac{2a{b}^2}{a^2{\sin }^2\theta +b^2{\cos }^2\theta }$ 是同类问题的另一利器。

🔗【关联脉络】

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• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-20 解-椭圆中点弦
• 2011-天津卷文-18 解-椭圆离心率与弦长
• 2011-四川卷文-21 解-椭圆弦长与定值
• 2009-辽宁卷文-22 解-椭圆方程与斜率定值