2007-大纲卷II文-15 填-棱柱外接球与表面积

本题导读

本题考查正四棱柱的结构，以及球的外接问题。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(文)） 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 $2$ cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为 $1$ cm，那么该棱柱的表面积为 $\underline{}$ ${\mathrm{cm}}^2$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正四棱柱外接球直径 $=$ 体对角线长：$\sqrt{a^2+a^2+h^2}=2$。
2. 解出 $h=\sqrt{2}$。
3. 表面积 $=2a^2+4ah$。

✅【答案】

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$2+4\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

正四棱柱的体对角线就是外接球的直径，设高为 $h$，则 $\sqrt{1^2+1^2+h^2}=2⟹2+h^2=4⟹h=\sqrt{2}.$ 表面积 $S=2\times 1^2+4\times 1\times \sqrt{2}=2+4\sqrt{2}({\mathrm{cm}}^2).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棱柱外接球与表面积

核心方法：体对角线等于球直径，表面积公式

避坑指南：体对角线是 \sqrt{1^2+1^2+h^2}，勿漏两个底面边长

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：长方体(棱柱)外接球

结论推广：外接球直径=体对角线长

方法推广：外接球问题抓体对角线这一桥梁

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练(Links)

• 2008-新课标卷文-14 填-六棱柱外接球
• 2010-新课标卷文-07 单-长方体外接球