2008-新课标卷文-14 填-六棱柱外接球

本题导读

考查六棱柱外接球。底面周长为 3，边长 $\frac{1}{2}$，底面外接圆半径 $\frac{1}{2}$；高 $\sqrt{3}$，球半径 $R=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=1$，故 $V=\frac{4}{3}\pi$。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面. 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 $\sqrt{3}$，底面周长为 $3$，则这个球的体积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由底面周长求正六边形边长。
2. 正六边形外接圆半径等于边长。
3. 球心在上下底面中心连线的中点，用勾股定理求球半径。
4. 代入球体积公式。

✅【答案】

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$\frac{4\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

底面为正六边形，周长 $3$，故边长 $a=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. 正六边形的外接圆半径等于其边长，即 $r=a=\frac{1}{2}$. 六棱柱的高 $h=\sqrt{3}$，球心位于上下底面中心连线的中点，故球半径 $R=\sqrt{r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1.$ 球的体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi .$ 故答案为 $\frac{4\pi }{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：六棱柱的外接球与球体积

核心方法：底面边长 $\frac{1}{2}$，外接圆半径 $\frac{1}{2}$，球半径 $R=1$，$V=\frac{4\pi }{3}$

避坑指南：正六边形外接圆半径等于边长；球心在上下底面中心连线中点，$R=\sqrt{r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}$；高 $\sqrt{3}$ 要除以 2 再平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱柱/棱锥外接球是立体几何小题经典模型，2010 新课标Ⅰ文第 7 题同考长方体外接球。

结论推广：正六边形外接圆半径 $=$ 边长；球体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$。

方法推广：先求底面外接圆半径，再用勾股定理把球半径算出来；“高的一半”参与运算，别用整高。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-15 填-球的截面
• 2010-新课标卷文-07 单-长方体外接球
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2011-新课标卷文-16 填-双圆锥外接球