2007-大纲卷II文-22 解-三次函数极值与参数范围

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}a{x}^3-b{x}^2+(2-b)x+1$ 在 $x=x_1$ 处取得极大值，在 $x=x_2$ 处取得极小值，且 $0<x_1<1<x_2<2$． （1）证明 $a>0$； （2）若 $z=a+2b$，求 $z$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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1. 极值点是 $f^{\prime }(x)=0$ 的两个不同实根，故 $f^{\prime }(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$。
2. $x_1$ 是极大值点：右侧邻近 $f^{\prime }<0$，而该区间内 $(x-x_1)(x-x_2)<0$，所以 $a>0$。
3. （2）比较系数：$2b=a(u+v)$，$2-b=auv$，解出 $a=\frac{4}{u+v+2uv}$，$z=a(1+u+v)$。
4. 差商证明 $z$ 关于 $u$、$v$ 都严格递减，用端点极限夹出范围。

✅【答案】

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（1）证明见解析；（2）$z$ 的取值范围为 $\left(\frac{16}{7},8\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $f^{\prime }(x)=a{x}^2-2bx+2-b$． 由 $x_1$、$x_2$ 是两个不同的极值点，知它们是 $f^{\prime }(x)=0$ 的两个不同实根，故 $a\ne 0$，且可设 $f^{\prime }(x)=a(x-x_1)(x-x_2).$ 在 $x_1$ 右侧且充分接近 $x_1$ 时（$x_1<x<x_2$），$f(x)$ 从极大值开始下降，故 $f^{\prime }(x)<0$；而此时 $(x-x_1)(x-x_2)<0$，所以 $a>0$． （2） 记 $u=x_1$，$v=x_2$．比较 $f^{\prime }(x)=a(x-u)(x-v)=a{x}^2-a(u+v)x+auv$ 与 $f^{\prime }(x)=a{x}^2-2bx+2-b$ 的系数： $2b=a(u+v),2-b=auv.$ 把 $b=\frac{a(u+v)}{2}$ 代入第二式：$2=a\left(uv+\frac{u+v}{2}\right)$，故 $a=\frac{4}{u+v+2uv},z=a+2b=a(1+u+v)=\frac{4(1+u+v)}{u+v+2uv}.$ 单调性：固定 $v$，设 $0<u_1<u_2$，则 $z(u_1)-z(u_2)=\frac{4(u_2-u_1)(1+2v+2v^2)}{(u_1+v+2u_{1}v)(u_2+v+2u_{2}v)}>0,$ （分子展开：$(1+u_1+v)\left[u_2(1+2v)+v\right]-(1+u_2+v)\left[u_1(1+2v)+v\right]=(u_2-u_1)(1+2v+2v^2)$．） 故 $z$ 关于 $u$ 严格递减；同理 $z$ 关于 $v$ 严格递减（把上式中 $u$、$v$ 角色互换，因子为 $1+2u+2u^2>0$）． 当 $u\to 1^{-}$，$v\to 2^{-}$ 时，$z\to \frac{4\times 4}{1+2+4}=\frac{16}{7}$；当 $u\to 0^{+}$，$v\to 1^{+}$ 时，$z\to \frac{4\times 2}{0+1+0}=8$． 由于边界不属于题设范围，且 $z$ 在区域 $0<u<1$，$1<v<2$ 内连续，故 $z$ 的取值范围为 $\left(\frac{16}{7},8\right).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值与参数范围

核心方法：极值点转导数零点，比较系数定参，差商证单调

避坑指南：z 关于 u,v 均严格递减，边界极限 16/7 与 8 都取不到

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：利用导数研究极值

结论推广：极大值点左侧导数为正右侧为负

方法推广：含参极值问题用比较系数法确定参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2008-安徽卷文-20 解-导数极值恒成立
• 2008-大纲卷II文-21 解-三次函数极值与最值恒成立