2008-安徽卷文-20 解-导数极值恒成立

本题导读

第(1)问由 $f^{\prime }(1)=0$ 求 $a$ 并验证；第(2)问把不等式整理成关于 $a$ 的一次式 $g(a)=(x^2+2)a-(x^2+2x)$，对任意 $a>0$ 恒成立等价于 $g(0)⩾0$，解出 $x$ 的范围。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 设函数 $f(x)=\frac{a}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+(a+1)x+1$，其中 $a$ 为实数.

(1)已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；

(2)已知不等式 $f^{\prime }(x)>x^2-x-a+1$ 对任意 $a\in (0,+\infty )$ 都成立，求实数 $x$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1) 求导 $f^{\prime }(x)=a{x}^2-3x+(a+1)$，由 $f^{\prime }(1)=0$ 解 $a$，再验证确为极值点。
2. (2) 代入 $f^{\prime }(x)$，差式整理为 $(x^2+2)a-(x^2+2x)>0$，它是 $a$ 的一次函数，对任意 $a>0$ 成立等价于 $a\to 0^{+}$ 时仍非负，即 $-x^2-2x⩾0$。

✅【答案】

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(1)$a=1$；(2)$-2⩽x⩽0$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$f^{\prime }(x)=a{x}^2-3x+(a+1)$。 由于函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，所以 $f^{\prime }(1)=0$，即 $a-3+a+1=0$，解得 $a=1$。 此时 $f^{\prime }(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，在 $x=1$ 两侧 $f^{\prime }(x)$ 变号，$x=1$ 确为极值点。 (2)由题设，$a{x}^2-3x+(a+1)>x^2-x-a+1$ 对任意 $a>0$ 都成立， 整理得 $(a-1)x^2-2x+2a>0$，即 $(x^2+2)a-(x^2+2x)>0$。 设 $g(a)=(x^2+2)a-(x^2+2x)$，它是关于 $a$ 的一次函数且 $x^2+2>0$，故 $g(a)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 所以对任意 $a>0$，$g(a)>0$ 恒成立等价于 $g(0)⩾0$，即 $-(x^2+2x)⩾0$， 解得 $-2⩽x⩽0$。 所以实数 $x$ 的取值范围是 $[-2,0]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数极值与恒成立

核心方法：$f^{\prime }(1)=0$ 定参；把恒成立式整理成关于 $a$ 的一次函数

避坑指南：求出 $a$ 后要验证极值点；对任意 $a>0$ 成立的一次不等式，等价于 $a\to 0^{+}$ 的极限非负，端点 $-2,0$ 取得到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 新课标Ⅰ文第 21 题、2010 新课标Ⅰ文第 21 题同为三次函数极值与恒成立。

结论推广：极值点先令 $f^{\prime }(x_0)=0$ 求参再验证变号；恒成立可变换主元。

方法推广：把不等式看成关于参数的一次式，恒成立等价于端点（极限）非负。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2010-新课标卷文-21 解-导数单调与恒成立
• 2011-浙江卷文-21 解-导数单调性与恒成立
• 2009-安徽卷文-08 单-三次函数图象