2007-大纲卷II理-05 单-基底思想向量共线定理

本题导读

本题考查平面向量的线性运算与基底分解。核心在于利用定比分点条件将向量 $\overrightarrow{CD}$ 引入以 $\overrightarrow{CA}$ 和 $\overrightarrow{CB}$ 为基底的代数式中，通过待定系数比对直接锁定未知数 $\lambda$。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 在 $△ABC$ 中，已知 $D$ 是 $AB$ 边上一点，若 $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$， $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\lambda \overrightarrow{CB}$，则 $\lambda =$ ()

A. $\frac{2}{3}$　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　C. $-\frac{1}{3}$　　　　　　D. $-\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 解析定比分点关系：由 $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$ 知，点 $D$ 位于线段 $AB$ 的三等分点处，靠近点 $B$。可得 $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$。
2. 利用向量三角形法则展开：

• 将目标向量变形： $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}$。
• 代入线段比例： $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$。
• 统一始点为 $C$（引入基底）： $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$。

3. 合并同类项比对系数：化简得到关于 $\overrightarrow{CA}$ 和 $\overrightarrow{CB}$ 的标准组合，直接提取 $\overrightarrow{CB}$ 前的系数 $\lambda$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$，且点 $D$ 在 $△ABC$ 的边 $AB$ 上， 说明点 $D$ 分有向线段 $AB$ 的比为 2，即： $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

依据平面向量的三角形加法法则，将向量 $\overrightarrow{CD}$ 以点 $A$ 为中转桥梁展开： $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}$ 将 $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ 代入上式中： $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

根据向量的减法运算性质，将 $\overrightarrow{AB}$ 统一转换为以点 $C$ 为起点的基底向量差： $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$ 代回原展开式并利用分配律进行合并同类项化简： $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)$ $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$ $\overrightarrow{CD}=\left(1-\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$ $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$

比对题目给出的已知基底组合式 $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\lambda \overrightarrow{CB}$， 显然，对应的系数满足： $\lambda =\frac{2}{3}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量基本定理（两不共线向量可作为平面内任一向量的唯一基底）、向量减法首尾相连规则（ $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX}$）。
2. 核心方法：基底分解法。
3. 避坑指南：

• 拆解定比分点时切记分清分子和分母的比例。由 $AD=2DB$ 推出整个全长 $AB=AD+DB=3$ 份，所以 $AD$ 占总长度的 $\frac{2}{3}$，不可粗心记成 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的线性运算、基底思想与向量共线定理是大纲卷II(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是平面向量的线性运算、基底思想与向量共线定理的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用向量分解法、终点公式代入法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖南卷理-07 单-立体几何
• 2008-大纲卷I文-05 单-向量定比分点
• 2008-大纲卷I理-03 单-向量