2008-大纲卷I理-03 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，要求熟练运用向量的加减法法则与共线向量的代数表示将未知向量用基底表示。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 在 $△ABC$ 中，$\overrightarrow{AB}=\mathbf{c}$，$\overrightarrow{AC}=\mathbf{b}$.若点 $D$ 满足 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，则 $\overrightarrow{AD}=$ ()

A. $\frac{2}{3}\mathbf{b}+\frac{1}{3}\mathbf{c}$　　B. $\frac{5}{3}\mathbf{c}-\frac{2}{3}\mathbf{b}$　　C. $\frac{2}{3}\mathbf{b}-\frac{1}{3}\mathbf{c}$　　D. $\frac{1}{3}\mathbf{b}+\frac{2}{3}\mathbf{c}$

🔍【思路分析】

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1. 将已知向量关系式 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$ 中的各个有向线段拆解为以 $A$ 为始点的向量差。
2. 移项、合并同类项，解出 $\overrightarrow{AD}$，并用基底 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 表示。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由题意，将 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$ 转化为以 $A$ 为起点的向量： $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})$ 展开得： $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AD}$ 移项合并得： $3\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$ 代入 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{c}$，$\overrightarrow{AC}=\mathbf{b}$ 得： $3\overrightarrow{AD}=2\mathbf{b}+\mathbf{c}\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\mathbf{b}+\frac{1}{3}\mathbf{c}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的基本定理，向量的减法分解定理（$\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX}$）。
2. 核心方法：统一起点法（通常统一到所求向量的起点）。
3. 避坑指南：拆分 $\overrightarrow{DC}$ 时注意顺序，应为 $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$，避免错写成 $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$ 导致符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中向量减法与线段定比分点向量表达式的基础习题。
2. 结论推广：若点 $D$ 在线段 $BC$ 上且满足 $\overrightarrow{BD}=\lambda \overrightarrow{DC}$，则对于平面内任意一点 $O$，有 $\overrightarrow{OD}=\frac{1}{1+\lambda }\overrightarrow{OB}+\frac{\lambda }{1+\lambda }\overrightarrow{OC}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
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