2007-大纲卷II理-06 单-区间并集表示

本题导读

本题考查分式不等式的求解。核心在于利用“符号同号异号相乘除”法则，将高维分式不等式等价转化为整式一元三次不等式，运用数轴穿根法直接写出解集。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 不等式 $\frac{x-1}{x^2-4}>0$ 的解集为()

A. $(-2,1)$　B. $(2,+\infty )$　C. $(-2,1)\cup (2,+\infty )$　D. $(-\infty ,-2)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 整式等价转化：分式不等式 $\frac{A}{B}>0$ 与整式乘积不等式 $A\cdot B>0$ （且 $B\ne 0$）符号完全同向等价。 故原式等价于： $(x-1)(x^2-4)>0$。

2. 根式因式分解：将二次项进行平方差分解： $(x-1)(x-2)(x+2)>0$。

3. 数轴穿根法求解：找到三个零点根为： $-2,1,2$。从右上方开始穿线，提取大于 0（图象在 $x$ 轴上方）的区间。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：根据实数除法与乘法的符号对应法则，分式不等式 $\frac{x-1}{x^2-4}>0$ 等价于如下的整式乘积不等式组： $(x-1)(x^2-4)>0$ 利用平方差公式，将分母二次项彻底因式分解为一阶线性相乘的形式： $(x-1)(x-2)(x+2)>0$

令左端多项式为零，求出所有的临界零点根，并从小到大顺次在数轴上排列： $x_1=-2,x_2=1,x_3=2$

运用**数轴穿根法（自右向左，从上往下，奇过偶反）**进行区间段正负号判定：

• 当 $x>2$ 时，三个括号项皆为正，乘积为正（ $+$）；
• 当 $1<x<2$ 时，只有 $(x-2)$ 为负，乘积为负（ $-$）；
• 当 $-2<x<1$ 时， $(x-2)$ 和 $(x-1)$ 为负，乘积为正（ $+$）；
• 当 $x<-2$ 时，三个括号项皆为负，乘积为负（ $-$）。

我们要寻找多项式严格大于 0（即符号为 $+$）的自变量区域，对位截取数轴段可得： $-2<x<1\text{或}x>2$

转化为标准的集合区间并集形式表达为： $(-2,1)\cup (2,+\infty )$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式向整式乘积不等式的等价跃迁、高次多项式的数轴穿根判定规律。
2. 核心方法：数轴穿根法。
3. 避坑指南：

• 属于常规高频考题，切记在解分式不等式时严禁直接两边随意交叉相乘去分母（因为未知数分母的正负号不确定，会改变不等号的方向）。任何时候一律通过分子分母乘积大于 0 来转化为整式求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式不等式的解法、一元二次不等式是大纲卷II(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是分式不等式的解法、一元二次不等式的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用乘积等价转化法、数轴穿根法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷文-07 单-分式不等式解集
• 2025-新高考II卷-04 单-分式不等式
• 2008-四川卷文-05 单-绝对值二次不等式