2008-四川卷文-05 单-绝对值二次不等式

本题导读

$x^2-x>-2$ 恒成立（判别式 $<0$）；$x^2-x<2⟺(x-2)(x+1)<0⟺-1<x<2$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 不等式 $|x^2-x|<2$ 的解集为()

A. $(-1,2)$　　　B. $(-1,1)$　　　C. $(-2,1)$　　　D. $(-2,2)$

🔍【思路分析】

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双层不等式拆开：左边 $x^2-x+2$ 配方恒正自动满足；右边解 $(x-2)(x+1)<0$.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $|x^2-x|<2$，得 $-2<x^2-x<2$．其中 $x^2-x>-2$ 等价于$x^2-x+2=(x-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{7}{4}>0$，恒成立；而 $x^2-x<2$ 等价于 $x^2-x-2<0$，即 $(x-2)(x+1)<0$，所以 $-1<x<2$．故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式与二次不等式

核心方法：拆双层 $-2<x^2-x<2$，两支分别处理

避坑指南：左边 $x^2-x>-2$ 判别式 $<0$ 恒成立，别去解"$x^2-x+2<0$"；右边因式分解 $(x-2)(x+1)<0$ 取中间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值与二次不等式组合，|x²−x|<2 型经典题

结论推广：$|x^2-x|<2⟺-1<x<2$；一般 $|x^2+px+q|<m$ 拆双层后看判别式

方法推广：先判哪一层恒成立可省一半计算；配方判别式是最快工具

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

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