2007-大纲卷II理-15 填-直棱柱表面积计算

本题导读

本题考查正四棱柱外接球的几何度量计算。直棱柱的所有顶点在球面上意味着正四棱柱的体对角线恰好等于外接球的直径，利用该核心几何等量关系可快速反解出四棱柱的高，进而计算表面积。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 $2\text{ cm}$ 的球面上. 如果正四棱柱的底面边长为 $1\text{ cm}$，那么该棱柱的表面积为________${\text{cm}}^2$。

🔍【思路分析】

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1. 确立外接核心几何等量：正四棱柱嵌套于外接球中，其最长空间跨度——体对角线 $l$ 严格等于球的直径 $2R$。 已知直径 $2R=2$，故体对角线 $l=2$。
2. 分解体对角线求高：

• 设正四棱柱的底面边长为 $a=1$，高为 $h$。
• 底面是正方形，底面对角线长度为 $\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
• 根据空间立体勾股定理，体对角线满足： $l^2=a^2+a^2+h^2⟹2^2=1^2+1^2+h^2$。
• 解出高 $h$。

3. 计算全表面积：表面积由两个正方形底面和四个侧面长方形组成： $S=2a^2+4ah$。

✅【答案】

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$2+4\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：设该正四棱柱的底面边长为 $a=1\text{ cm}$，高为 $h\text{ cm}$。 因为正四棱柱的各个顶点均在球面上，根据多面体外接球的几何特质，正四棱柱的体对角线长度严格等于球的直径 $2R$。 已知球的直径为 $2\text{ cm}$，建立空间对角线勾股方程： $a^2+a^2+h^2=(2R{)}^2$

将已知数据 $a=1,2R=2$ 代入上式中： $1^2+1^2+h^2=2^2⟹2+h^2=4⟹h^2=2$ 因为高 $h>0$， 开平方取正根求得高为： $h=\sqrt{2}\text{ cm}$

该正四棱柱的表面积 $S$ 由上下两个正方形底面的面积与侧面四个全等的长方形面积共同构成。 套用全面积计算公式： $S=2\times a^2+4\times a\cdot h$ 将 $a=1,h=\sqrt{2}$ 代入： $S=2\times 1^2+4\times 1\times \sqrt{2}=2+4\sqrt{2}{\text{ cm}}^2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直四棱柱外接球立体几何模型（体对角线等同于球直径 $2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$）、柱体全面积构成。
2. 核心方法：立体勾股数理方程法。
3. 避坑指南：

• 审题时必须看清给出的条件是“直径”还是“半径”。本题给出的是“直径为 2”，很多同学习惯性看成半径算错。
• 计算表面积时，切记不要漏掉上下两个底面（乘以2），同时分清侧面积与底面积的区别。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正四棱柱的外接球、球面性质与体对角线是大纲卷II(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是正四棱柱的外接球、球面性质与体对角线的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用体对角线外接圆球方程法、勾股定理模型法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积
• 2008-安徽卷文-16 填-球面距离
• 2008-新课标卷文-14 填-六棱柱外接球