2007-大纲卷II理-16 填-数列极限代数运算

本题导读

本题考查等差数列的前 $n$ 项和公式与无穷数列极限的联合运算。首先写出前 $n$ 项和 $S_n$ 的二次多项式解析式，再利用多项式有理分式求极限的法则，直接提取最高次项 $n^2$ 的系数比值获取答案。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 已知数列的通项 $a_n=-5n+2$，其前 $n$ 项和为 $S_n$，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{n^2}=$________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定数列类别并提基本量：由通项 $a_n=-5n+2$ 为关于 $n$ 的一次函数可知， 该数列是等差数列。

• 首项 $a_1=-5(1)+2=-3$。
• 公差 $d=-5$（一次项系数即为公差）。

2. 写出前 $n$ 项和 $S_n$：套用求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$。 代入得： $S_n=-3n+\frac{n(n-1)}{2}(-5)=-\frac{5}{2}{n}^2+\left(-3+\frac{5}{2}\right)n=-\frac{5}{2}{n}^2-\frac{1}{2}n$。

3. 求极限：将 $S_n$ 代入目标分式 $\frac{-\frac{5}{2}{n}^2-\frac{1}{2}n}{n^2}$。 当 $n\to \infty$ 时，结果严格等于上下二次方项 $n^2$ 的系数之比。

✅【答案】

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$-\frac{5}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为数列的通项公式为 $a_n=-5n+2$，其形态为一次函数， 所以该数列是一个标准的等差数列。

我们计算出该等差数列的首项 $a_1$ 与公差 $d$：

• 当 $n=1$ 时，首项为： $a_1=-5\times 1+2=-3$
• 公差为一次项的系数： $d=-5$

套用等差数列前 $n$ 项和公式进行代数多项式展开： $S_n=n\cdot a_1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot d$ $S_n=-3n+\frac{n^2-n}{2}\cdot (-5)=-3n-\frac{5}{2}{n}^2+\frac{5}{2}n$ 合并同类项，归拢为关于 $n$ 的降幂二次多项式： $S_n=-\frac{5}{2}{n}^2-\frac{1}{2}n$

将求得的 $S_n$ 代入待求极限的代数分式中： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{n^2}={\lim }_{n\to \infty }\frac{-\frac{5}{2}{n}^2-\frac{1}{2}n}{n^2}$ 分子与分母同时除以二次最高项 $n^2$ 进行有理分式极限化简： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{n^2}={\lim }_{n\to \infty }\left(-\frac{5}{2}-\frac{1}{2n}\right)$ 当 $n\to \infty$ 时， 无穷小项 $\frac{1}{2n}\to 0$， 故最终极限值为： $-\frac{5}{2}-0=-\frac{5}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列求和多项式构型（ $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$）、无穷远点有理分式求极限。
2. 核心方法：抓最高次系数法。
3. 避坑指南：

• 等差极限题存在终极口算秒杀技巧：由极限性质可知， ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{n^2}$ 的值必然等于 $S_n$ 表达式中二次项 $n^2$ 的系数。而等差数列求和公式中 $n^2$ 的系数雷打不动恒为 $\frac{d}{2}$。
• 看到此构型，直接提取通项里 $n$ 前面的系数 $d=-5$，一步除以 2 即可口算直达 $-\frac{5}{2}$，考场上可省去全部展开步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列的前n项和公式、数列极限的代数运算是大纲卷II(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是等差数列的前n项和公式、数列极限的代数运算的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用公式代入法、最高次项系数比值法（抓大放小法），注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷理-16 填-等差数列
• 2008-安徽卷文-15 填-等差数列待定系数
• 2008-重庆卷理-14 填-等差数列