2008-安徽卷文-15 填-等差数列待定系数

本题导读

本题由 $a_n=4n-\frac{5}{2}$ 知 $\{a_n\}$ 是公差为 $4$ 的等差数列，求出 $S_n$ 后比对 $a{n}^2+bn$ 的系数得 $ab$。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_n=4n-\frac{5}{2}$，$a_1+a_2+\cdots +a_n=a{n}^2+bn$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），其中 $a$，$b$ 为常数，则 $ab=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $a_1=\frac{3}{2}$，公差 $d=4$。
2. $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，整理成 $n$ 的二次多项式，读出 $a$、$b$。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_n=4n-\frac{5}{2}$，得 $a_1=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$，公差 $d=4$。 由等差数列求和公式， $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n\left(\frac{3}{2}+4n-\frac{5}{2}\right)}{2}=\frac{n(4n-1)}{2}=2n^2-\frac{1}{2}n$。 对照 $S_n=a{n}^2+bn$，得 $a=2$，$b=-\frac{1}{2}$，所以 $ab=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列前 $n$ 项和的系数

核心方法：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 整理成 $n$ 的二次式

避坑指南：$a_n=4n-\frac{5}{2}$ 的常数项是 $-\frac{5}{2}$，$a_1=\frac{3}{2}$ 不是 $-\frac{1}{2}$；对照系数时别把 $b$ 的符号丢掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 安徽文第 5 题、2009 陕西文第 13 题同考等差数列基本量。

结论推广：$a_n=dn+\left(a_1-d\right)$ 是 $n$ 的一次式，$S_n$ 是 $n$ 的二次式（无常数项）。

方法推广：求和公式优先用 $\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，减少中间计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2009-山东卷文-13 填-等差数列
• 2011-重庆卷文-01 单-等差数列基本量
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