2007-大纲卷II理-22 解-极大值极小值判定

本题导读

本题作为压轴题，核心考查导数的几何意义以及三次曲线切线条数与代数方程根的个数之间的转换。第一问通过切点求出切线方程的通用点斜式；第二问将“可作三条切线”转化为关于切点横坐标 $t$ 的三次方程有三个互异实根的问题，再利用极大值与极小值异号建立参数不等式组完成证明。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 已知函数 $f(x)=x^3-x$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(t,f(t))$ 处的切线方程；

(2) 设 $a>0$，如果过点 $(a,b)$ 可作曲线 $y=f(x)$ 的三条切线，证明: $-a<b<f(a)$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 先对 $f(x)=x^3-x$ 求导得 $f^{\prime }(x)=3x^2-1$。
• 切点处的斜率为 $k=f^{\prime }(t)=3t^2-1$，切点为 $(t,t^3-t)$。
• 利用点斜式直出切线方程，并化简。

2. 第二问：

• 将点 $(a,b)$ 代入第一问求得的切线方程中，得到关于切点横坐标 $t$ 的方程。

• “可作三条切线”等价于该关于 $t$ 的三次方程在实数集上有三个不同的实数根。

• 构造关于 $t$ 的辅助函数，利用导数使其极大值与极小值严格异号（即 $g(t{)}_{\text{极大}}\cdot g(t{)}_{\text{极小}}<0$）来卡死参数 $b$ 的范围。

✅【答案】

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$y=(3t2-1)x-2t3；-a<b<f(a).$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）对函数 $f(x)=x^3-x$ 求导，得： $f^{\prime }(x)=3x^2-1$ 所以曲线在点 $M(t,f(t))$ 处的切线斜率为： $k=f^{\prime }(t)=3t^2-1$ 已知切点坐标为 $(t,t^3-t)$，根据直线的点斜式方程： $y-(t^3-t)=(3t^2-1)(x-t)$ 展开并整理得： $y=(3t^2-1)x-3t^3+t+t^3-t⟹y=(3t^2-1)x-2t^3$

所以，曲线在点 $M$ 处的切线方程为 $(3t^2-1)x-y-2t^3=0$。

（2）证明：由题意，点 $(a,b)$ 在该切线上，将其坐标代入（1）中求得的切线方程： $b=(3t^2-1)a-2t^3⟹2t^3-3a{t}^2+a+b=0$ 过点 $(a,b)$ 可作曲线 $y=f(x)$ 的三条切线，等价于上述关于切点横坐标 $t$ 的三次方程有三个互不相同的实数根。

构造辅助函数： $g(t)=2t^3-3a{t}^2+a+b$ 方程有三个互异实根，意味着三次函数 $g(t)$ 的图象与 $t$ 轴有三个不同的交点。 对 $g(t)$ 求导： $g^{\prime }(t)=6t^2-6at=6t(t-a)$ 令 $g^{\prime }(t)=0$，因为 $a>0$，所以得到两个不同的驻点： $t_1=0,t_2=a$

根据三次函数的性质，要使 $g(t)=0$ 有三个互异实根，其极大值与极小值必须严格异号： $g(0)\cdot g(a)<0$ 分别计算驻点处的函数值：

• 极大值为： $g(0)=a+b$
• 极小值为： $g(a)=2a^3-3a^3+a+b=-a^3+a+b$

代入异号不等式中： $(a+b)(-a^3+a+b)<0\text{(1)}$

下面利用 $g(t)$ 的图象特征和已知条件 $a>0$ 确定其精确的解集分支： 由于 $g(t)$ 的三次项系数 $2>0$，其图象从左下方往右上方走。 图象要与 $t$ 轴有三个交点，必须满足左边的极大值在 $t$ 轴上方，右边较低的极小值在 $t$ 轴下方： $\{\begin{array}{l}g(0)>0\\ g(a)<0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a+b>0\\ -a^3+a+b<0\end{array}$ 求解该不等式组： 由 $a+b>0⟹b>-a$。 由 $-a^3+a+b<0⟹b<a^3-a=f(a)$。

综合上述两端边界约束，合并成连不等式即为： $-a<b<f(a)$

命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何切线模型、切线条数向方程实根个数的等价转换、三次函数三零点的充要条件（ $\text{极值点异号}$）。
2. 核心方法：方程根的个数转化法。
3. 避坑指南：

• 很多同学习惯将切点设为 $(x_0,y_0)$，这样在第二问代入过已知点 $(a,b)$ 后容易与原函数的自变量 $x$ 混淆。强推第一问就遵照题目要求设成参数 $t$，这样第二问变形出的就是关于 $t$ 的三次方程，逻辑极其清晰。
• 在论证极值异号时，由 $a>0$ 且三次项为正，直接确定 $\text{极大}>0$ 且 $\text{极小}<0$，可完美避免将 $(a+b)$ 和 $(-a^3+a+b)$ 哪个正哪个负搞反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查导数的几何意义与切线方程、三次方程根的个数问题，是大纲卷II(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（导数工具方程法、构造辅助函数讨论零点法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：导数的几何意义与切线方程、三次方程根的个数问题相互关联，解答中综合运用了导数工具方程法、构造辅助函数讨论零点法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.16 零点问题
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-天津卷理-20 解-几何证明
• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值