2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性

本题导读

$G(4,b+2)$，切线斜率 $\frac{x}{4}=1$，切线 $y=x+b-2$ 过 $F_1(b,0)$ 给 $b=1$；三类直角顶点各数点：$x=\pm \sqrt{2}$ 各 1 个，$t^2+80t-64=0$ 正根给 2 个，共 4 个.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 设 $b>0$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{2b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，抛物线方程为 $x^2=8(y-b)$．如图所示，过点 $F(0,b+2)$ 作 $x$ 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 $G$．已知抛物线在点 $G$ 的切线经过椭圆的右焦点 $F_1$.

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

(2)设 $A$，$B$ 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 $P$，使得 $△ABP$ 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

🔍【思路分析】

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(1)$y=b+2$ 代入抛物线得 $x=4$；抛物线求导 $2x=8y^{\prime }$，在 $G$ 处斜率为 1，切线 $y=x+b-2$；$c^2=b^2$ 给 $F_1(b,0)$，代入定 $b=1$. (2)$\angle PAB=90^{\circ }$ 或 $\angle PBA=90^{\circ }$ 时 $P$ 的横坐标唯一；$\angle APB=90^{\circ }$ 用 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$ 换元 $t=x^2$ 解二次方程，判别正根个数即点的个数.

✅【答案】

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(1)椭圆方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$，抛物线方程为 $x^2=8(y-1)$；(2)存在，共有 4 个这样的点

✍【详细解析】

Abstract

(1)抛物线可写为 $x^2=8(y-b)$．直线 $y=b+2$ 与抛物线在第一象限的交点满足 $x^2=16$，故 $G(4,b+2)$．对抛物线方程求导，得 $2x=8y^{\prime }$，所以在 $G$ 点的切线斜率为 1，切线方程为 $y-(b+2)=x-4$，即 $y=x+b-2$. 椭圆的长半轴平方为 $2b^2$，短半轴平方为 $b^2$，所以焦距的一半满足 $c^2=2b^2-b^2=b^2$．因 $b>0$，椭圆右焦点为 $F_1(b,0)$．由切线经过 $F_1$，得 $0=b+b-2$，即 $b=1$．因此椭圆方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$，抛物线方程为 $x^2=8(y-1)$. (2)此时椭圆长轴的左、右端点分别为 $A(-\sqrt{2},0)$，$B(\sqrt{2},0)$，抛物线上点 $P$ 可表示为 $P(x,1+\frac{x^2}{8})$. 若 $\angle PAB=90^{\circ }$，由于 $AB$ 水平，必有 $x=-\sqrt{2}$，抛物线上恰有一个这样的点．同理，若 $\angle PBA=90^{\circ }$，必有 $x=\sqrt{2}$，也恰有一个这样的点. 若 $\angle APB=90^{\circ }$，由 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$，得 $x^2-2+(1+\frac{x^2}{8}{)}^2=0$．令 $t=x^2$，则 $t^2+80t-64=0$，解得 $t=-40\pm 8\sqrt{26}$．其中只有 $t=-40+8\sqrt{26}>0$ 符合，因此 $x$ 有两个相反的取值，对应两个点．综上，抛物线上共有 $1+1+2=4$ 个点，使 $△ABP$ 为直角三角形.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥曲线交汇与存在性

核心方法：导数写切线、切线过定点定参数；存在性按直角顶点分类计数

避坑指南：$t^2+80t-64=0$ 两根一正一负，只取 $t=-40+8\sqrt{26}$；$x=\pm \sqrt{2}$ 两类各恰一点，与 $t$ 的两点合计 4 个，别漏”不必求坐标”只需说理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆与抛物线在切线处的交汇，导数几何意义进圆锥曲线，压轴综合题

结论推广：抛物线 $x^2=2py$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处切线 $x_{0}x=2p\cdot \frac{y+y_0}{2}$，斜率 $\frac{x_0}{p}$

方法推广：存在性计数：按直角顶点分类，每类用垂直的代数条件（向量点积或斜率积）转化，数方程解的个数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2013-广东卷理-20 解-抛物线方程
• 2010-广东卷理-20