2007-天津卷文-12 填-二项式常数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及特定项（常数项）。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） ${\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^9$ 的二项展开式中常数项是 $\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_9^k{x}^{9-k}{\left(x^{-2}\right)}^k={\mathrm{C}}_9^k{x}^{9-3k}$。
2. 令 $9-3k=0$，$k=3$。
3. 常数项 ${\mathrm{C}}_9^3$。

✅【答案】

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$84$

✍【详细解析】

Abstract

二项展开式的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_9^k{x}^{9-k}{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^k={\mathrm{C}}_9^k{x}^{9-3k},k=0,1,\cdots ,9.$ 令 $9-3k=0$，得 $k=3$，故常数项为 ${\mathrm{C}}_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式常数项

核心方法：通项令指数为零

避坑指南：x 的指数是 9−3k（注意分母是 x²），解 k=3

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理通项

结论推广：T_{k+1}=C_n^k a^{n−k}b

方法推广：常数项令 x 指数=0，系数别忘了组合数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练(Links)

• 2007-大纲卷II文-16 填-二项式常数项
• 2008-北京卷文-12 填-二项式常数项与系数和