2007-浙江卷文-06 单-二项式常数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及通项公式与常数项。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)}^9$ 展开式中的常数项是 ()

A. $-36$　　　　　　B. $36$　　　　　　C. $-84$　　　　　　D. $84$

🔍【思路分析】

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1. 写通项：$T_{r+1}={\mathrm{C}}_9^r(\sqrt{x}{)}^{9-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_9^r{x}^{\frac{9-r}{2}-r}$。
2. 令指数为 $0$：$\frac{9-r}{2}-r=0\Rightarrow r=3$。
3. 常数项 $=(-1{)}^3{\mathrm{C}}_9^3=-84$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

通项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_9^r{\left(\sqrt{x}\right)}^{9-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_9^r{x}^{\frac{9-r}{2}-r}$． 令 $\frac{9-r}{2}-r=0$，得 $r=3$． 所以常数项为 $(-1{)}^3{\mathrm{C}}_9^3=-\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=-84$． 故选 C． （易错点：${\left(-\frac{1}{x}\right)}^r$ 的符号随 $r$ 变化，$r=3$ 为奇数，取负号；漏负号会误选 D。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式常数项

核心方法：通项 $T_{r+1}=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_9^r{x}^{\frac{9-r}{2}-r}$，令指数为 0 定 $r$

避坑指南：负项 ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^r$ 的符号随 $r$ 奇偶变化；指数方程 $\frac{9-r}{2}-r=0$ 别解错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式常数项为高频小题，2007 年多套卷同时考查（本题与大纲卷填空同款）

结论推广：令 $x$ 的指数为 0 是通用方法；系数含负项时注意 $(-1{)}^r$

方法推广：求”系数和”用赋值法（$x=1$），求”特定项”用通项，两套工具不混用

🔗【关联脉络】

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