2007-天津卷文-13 填-长方体外接球

本题导读

本题考查长方体的外接球，以及球的表面积。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 $1$，$2$，$3$，则此球的表面积为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 长方体外接球直径 = 体对角线长 $\sqrt{1^2+2^2+3^2}$。
2. $r=\frac{\sqrt{14}}{2}$，代入 $S=4\pi r^2$。

✅【答案】

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$14\pi$

✍【详细解析】

Abstract

长方体的体对角线就是外接球的直径，故 $2r=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14},r=\frac{\sqrt{14}}{2}.$ 球的表面积 $S=4\pi r^2=4\pi \cdot \frac{14}{4}=14\pi .$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体外接球

核心方法：体对角线等于直径

避坑指南：三条棱 1,2,3 全要放进 √(a²+b²+c²)

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：长方体外接球模型

结论推广：2R=√(a²+b²+c²)

方法推广：外接球问题核心是找到”直径=体对角线”

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练(Links)

• 2008-新课标卷文-14 填-六棱柱外接球
• 2010-新课标卷文-07 单-长方体外接球