2007-天津卷文-17 解-解三角形与和角

本题导读

本题考查同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，已知 $AC=2$，$BC=3$，$\cos A=-\frac{4}{5}$． （1）求 $\sin B$ 的值； （2）求 $\sin \left(2B+\frac{\pi }{6}\right)$ 的值．

🔍【思路分析】

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1. $A$ 为钝角，$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{3}{5}$。
2. 正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$ 求 $\sin B$；$A$ 钝角 $\Rightarrow B$ 锐角 $\Rightarrow \cos B>0$。
3. $\sin 2B$、$\cos 2B$ 后用和角公式。

✅【答案】

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（1）$\sin B=\frac{2}{5}$；（2）$\sin \left(2B+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{12\sqrt{7}+17}{50}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由 $\cos A=-\frac{4}{5}$ 且 $A$ 为三角形内角，得 $\sin A=\sqrt{1-{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{3}{5}$． 由正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$，得 $\sin B=\frac{AC\sin A}{BC}=\frac{2\times \frac{3}{5}}{3}=\frac{2}{5}.$ 因 $A$ 为钝角，故 $B$ 为锐角，$\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}=\frac{\sqrt{21}}{5}$． （2） $\sin 2B=2\sin B\cos B=2\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{4\sqrt{21}}{25},$ $\cos 2B=1-2{\sin }^{2}B=1-2\cdot \frac{4}{25}=\frac{17}{25}.$ 于是 $\sin \left(2B+\frac{\pi }{6}\right)=\sin 2B\cos \frac{\pi }{6}+\cos 2B\sin \frac{\pi }{6}=\frac{4\sqrt{21}}{25}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{17}{25}\cdot \frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{63}+17}{50}=\frac{12\sqrt{7}+17}{50}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形与和角

核心方法：正弦定理求 sinB，二倍角合并

避坑指南：A 为钝角故 B 为锐角，cosB 取正；最后结果 (12√7+17)/50 勿忘通分

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理与和差角公式

结论推广：sin2B=2sinBcosB、cos2B=1−2sin²B

方法推广：解三角形与三角变换结合是高频大题结构

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练(Links)

• 2010-天津卷文-17 解-正弦定理与三角求值
• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边