2010-天津卷文-17 解-正弦定理与三角求值

本题导读

考查解三角形与三角求值。(1) 由正弦定理化边为角，$\sin (B-C)=0$ 得 $B=C$；(2) 值为 $\frac{4\sqrt{2}-7\sqrt{3}}{18}$。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$\frac{AC}{AB}=\frac{\cos B}{\cos C}$.

(1) 证明：$B=C$；

(2) 若 $\cos A=-\frac{1}{3}$，求 $\sin \left(4B+\frac{\pi }{3}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}=\frac{\sin B}{\sin C}$，与题设联立得 $\sin B\cos C=\cos B\sin C$。
2. $\sin (B-C)=0$，又 $B,C\in (0,\pi )$，故 $B=C$。
3. $4B=2\pi -2A$，$\sin \left(4B+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}-2A\right)$。
4. $\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\sin 2A=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$，$\cos 2A=-\frac{7}{9}$，代入差角公式。

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) $\frac{4\sqrt{2}-7\sqrt{3}}{18}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}=\frac{\sin B}{\sin C}.$ 结合题设 $\frac{AC}{AB}=\frac{\cos B}{\cos C}$，得 $\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{\cos B}{\cos C}\Rightarrow \sin B\cos C-\cos B\sin C=0\Rightarrow \sin (B-C)=0.$ 因为 $B,C\in (0,\pi )$，$B-C\in (-\pi ,\pi )$，故 $B-C=0$，即 $B=C$。 (2) 由 $B=C$ 得 $2B=\pi -A$，$4B=2\pi -2A$， $\sin \left(4B+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(2\pi -2A+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}-2A\right).$ 由 $\cos A=-\frac{1}{3}$，$A\in (0,\pi )$，得 $\sin A=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$， $\sin 2A=2\sin A\cos A=-\frac{4\sqrt{2}}{9},\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1=-\frac{7}{9}.$ 于是 $\sin \left(\frac{\pi }{3}-2A\right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos 2A-\cos \frac{\pi }{3}\sin 2A=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{7}{9}\right)-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{4\sqrt{2}}{9}\right)=\frac{4\sqrt{2}-7\sqrt{3}}{18}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与三角恒等变换求值

核心方法：边化角得 $B=C$，再把 $4B+\frac{\pi }{3}$ 用 $A$ 表示

避坑指南：$4B=2\pi -2A$ 的代换是关键一步，直接用 $B$ 求会陷入解方程；$\sin \left(2\pi -2A+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}-2A\right)$ 的符号不要搞错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 实现边角互化。

结论推广：三角形中 $\sin (B-C)=0$ 与 $B=C$ 等价的前提是 $B-C\in (-\pi ,\pi )$。

方法推广：知 $\cos A$ 求 $\sin 2A,\cos 2A$ 是降次求值的标准流程。

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