2007-天津卷文-21 解-三次函数切线极值恒成立

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线）。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 设函数 $f(x)=-x(x-a{)}^2$（$x\in \mathbf{R}$），其中 $a\in \mathbf{R}$． （1）当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程； （2）当 $a\ne 0$ 时，求函数 $f(x)$ 的极大值和极小值； （3）当 $a>3$ 时，证明存在 $k\in [-1,0]$，使得不等式 $f(k-\cos x)⩾f(k^2-{\cos }^{2}x)$ 对任意的 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立．

🔍【思路分析】

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1. （1）$f^{\prime }(x)=-3x^2+4x-1$，$f(2)=-2$、$f^{\prime }(2)=-5$，点斜式。
2. （2）$f^{\prime }(x)=-(x-a)(3x-a)$，驻点 $\frac{a}{3}$、$a$，按 $a>0$、$a<0$ 分类列表定极值。
3. （3）取 $k=-1$：自变量分别为 $-1-u\in [-2,0]$ 与 $1-u^2\in [0,1]$；$a>3$ 时 $f$ 在 $(-\infty ,1]$ 递减；又 $(1-u^2)-(-1-u)=(2-u)(u+1)⩾0$。

✅【答案】

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（1）$y=-5x+8$；（2）$a>0$ 时极小值 $-\frac{4a^3}{27}$、极大值 $0$；$a<0$ 时极小值 $0$、极大值 $-\frac{4a^3}{27}$；（3）证明见解析（存在 $k=-1$）

✍【详细解析】

Abstract

（1） 当 $a=1$ 时 $f(x)=-x(x-1{)}^2=-x^3+2x^2-x$，$f^{\prime }(x)=-3x^2+4x-1$． $f(2)=-2$，$f^{\prime }(2)=-12+8-1=-5$，故切线方程为 $y+2=-5(x-2),\text{即}y=-5x+8.$ （2） $f^{\prime }(x)=-3x^2+4ax-a^2=-(x-a)(3x-a)$，驻点为 $x=\frac{a}{3}$ 与 $x=a$．

• 当 $a>0$ 时（$\frac{a}{3}<a$）：$x<\frac{a}{3}$ 时 $f^{\prime }<0$ 递减；$\frac{a}{3}<x<a$ 时 $f^{\prime }>0$ 递增；$x>a$ 时 $f^{\prime }<0$ 递减．故 $f$ 在 $x=\frac{a}{3}$ 处取得极小值 $f\left(\frac{a}{3}\right)=-\frac{a}{3}{\left(-\frac{2a}{3}\right)}^2=-\frac{4a^3}{27}$，在 $x=a$ 处取得极大值 $f(a)=0$．
• 当 $a<0$ 时（$a<\frac{a}{3}$）：同理 $f$ 在 $x=a$ 处取得极小值 $0$，在 $x=\frac{a}{3}$ 处取得极大值 $-\frac{4a^3}{27}$． （3） 取 $k=-1\in [-1,0]$，记 $u=\cos x\in [-1,1]$，则 $k-u=-1-u\in [-2,0],k^2-u^2=1-u^2\in [0,1].$ 当 $a>3$ 且 $z⩽1$ 时，$z-a<0$、$3z-a<0$，故 $f^{\prime }(z)=-(z-a)(3z-a)<0$，即 $f$ 在 $(-\infty ,1]$ 上单调递减． 又 $(k^2-u^2)-(k-u)=1-u^2+1+u=(2-u)(u+1)⩾0(u\in [-1,1]),$ 即 $k-u⩽k^2-u^2⩽1$，由单调递减性得 $f(k-u)⩾f(k^2-u^2),$ 即 $f(k-\cos x)⩾f(k^2-{\cos }^{2}x)$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 成立．故存在 $k=-1\in [-1,0]$ 使不等式恒成立，证毕．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数切线极值恒成立

核心方法：驻点分类定极值，取特值验证恒成立

避坑指南：a<0 时极值位置对调；第(3)问只需找到 k=−1 一个特值并验证两个不等量关系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：利用导数研究三次函数

结论推广：f^{\prime}(x)=-(x-a)(3x-a) 的两驻点定形态

方法推广：“存在 k”型问题先找特值再验证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2008-浙江卷文-21 解-三次函数切线最值
• 2008-湖北卷文-17 解-三次函数极值与切线