2008-湖北卷文-17 解-三次函数极值与切线

本题导读

$f^{\prime }(x)=(x+m)(3x-m)$，极大值 $f(-m)=m^3+1=9$ 得 $m=2$；$3x^2+4x+1=0$ 给 $x=-1$ 或 $-\frac{1}{3}$，两条切线.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+m{x}^2-m^{2}x+1$（$m$ 为常数，且 $m>0$）有极大值 $9$.

(1)求 $m$ 的值；

(2)若斜率为 $-5$ 的直线是曲线 $y=f(x)$ 的切线，求此直线方程.

🔍【思路分析】

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极大值在 $x=-m$ 处取得；$m=2$ 后令 $f^{\prime }(x)=-5$ 得两个切点，分别写切线.

✅【答案】

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(1)$m=2$；(2)$y=-5x+1$ 或 $y=-5x+\frac{23}{27}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$f^{\prime }(x)=3x^2+2mx-m^2=(x+m)(3x-m)$. 因 $m>0$，在 $x=-m$ 左侧 $f^{\prime }(x)>0$，在 $\left(-m,\frac{m}{3}\right)$ 内 $f^{\prime }(x)<0$，在 $x=\frac{m}{3}$ 右侧 $f^{\prime }(x)>0$，故 $x=-m$ 是极大值点. $f(-m)=-m^3+m^3+m^3+1=m^3+1=9$，得 $m^3=8$，$m=2$. (2)当 $m=2$ 时，$f(x)=x^3+2x^2-4x+1$，$f^{\prime }(x)=3x^2+4x-4$. 切线斜率为 $-5$，即 $3x^2+4x-4=-5$，$3x^2+4x+1=0$，解得 $x=-1$ 或 $x=-\frac{1}{3}$. 当 $x=-1$ 时，$f(-1)=-1+2+4+1=6$，切线为 $y-6=-5(x+1)$，即 $y=-5x+1$； 当 $x=-\frac{1}{3}$ 时，$f\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{27}+\frac{2}{9}+\frac{4}{3}+1=\frac{68}{27}$，切线为 $y-\frac{68}{27}=-5\left(x+\frac{1}{3}\right)$，即 $y=-5x+\frac{23}{27}$. 故所求直线为 $y=-5x+1$ 与 $y=-5x+\frac{23}{27}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数的极值与切线

核心方法：导数因式分解定极值点，令 $f^{\prime }(x)=k$ 解切点，有几个根就有几条切线

避坑指南：$3x^2+4x+1=0$ 有两个根，对应两条切线，别只写一条；切点纵坐标要用 $m=2$ 后的解析式算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数应用的标准二段式：由极值定参数，再由切线斜率定切线

结论推广：$f^{\prime }(x)=0$ 的根按左右导数符号定极大/极小；切线条数 = $f^{\prime }(x)=k$ 的不同实根数

方法推广：切线问题先解切点横坐标再求纵坐标；二次方程两根对应两条切线，结论要写全

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-21 解-导数最值恒成立
• 2011-湖北卷文-20 解-导数切线与恒成立
• 2014-湖北卷文-21 解-导数比较
• 2006-湖北卷理-17 解-数列不等式恒成立问题