2007-天津卷文-22 解-椭圆与圆切线综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$A$ 是椭圆上的一点，$A{F}_2\perp F_1{F}_2$．原点 $O$ 到直线 $A{F}_1$ 的距离为 $\frac{1}{3}|O{F}_1|$．

（1）证明 $a=\sqrt{2}b$；

（2）求 $t\in (0,b)$，使得下述命题成立：设圆 $x^2+y^2=t^2$ 上任意点 $M(x_0,y_0)$ 处的切线交椭圆于 $Q_1$，$Q_2$ 两点，则 $O{Q}_1\perp O{Q}_2$．

🔍【思路分析】

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1. （1）$A{F}_2\perp F_1{F}_2$ 且 $F_2=(c,0)$，设 $A=(c,y_0)$ 代入椭圆得 $y_0^2=\frac{b^4}{a^2}$；点 $O$ 到直线 $A{F}_1$ 的距离为 $\frac{|c{y}_0|}{\sqrt{y_0^2+4c^2}}$，列方程消元。
2. （2）椭圆即 $x^2+2y^2=2b^2$；圆上 $M$ 处切线 $x{x}_0+y{y}_0=t^2$，取方向向量 $\mathbf{d}=(-y_0,x_0)$ 参数化交点，$Q_i=M+s_i\mathbf{d}$。
3. 韦达得 $s_1{s}_2$；$\overrightarrow{O{Q}_1}\cdot \overrightarrow{O{Q}_2}=t^2(1+s_1{s}_2)$，垂直 $⟺s_1{s}_2=-1⟺3t^2=2b^2$。

✅【答案】

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（1）证明见解析；（2）$t=\sqrt{\frac{2}{3}}b$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设半焦距为 $c$，$c^2=a^2-b^2$，$F_1=(-c,0)$，$F_2=(c,0)$．由 $A{F}_2\perp F_1{F}_2$，设 $A=(c,y_0)$，代入椭圆方程得 $\frac{c^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1⟹y_0^2=b^2\left(1-\frac{c^2}{a^2}\right)=\frac{b^4}{a^2}.$ 直线 $A{F}_1$ 的方程为 $y_{0}x-2cy+y_{0}c=0$，原点到它的距离为 $\frac{|c{y}_0|}{\sqrt{y_0^2+4c^2}}$．由题设 $\frac{|c{y}_0|}{\sqrt{y_0^2+4c^2}}=\frac{c}{3}⟹c^2=2y_0^2=\frac{2b^4}{a^2}.$ 结合 $c^2=a^2-b^2$：$a^2-b^2=\frac{2b^4}{a^2}$，即 $a^4-a^2{b}^2-2b^4=0$， $(a^2-2b^2)(a^2+b^2)=0.$ 因 $a>b>0$，故 $a^2=2b^2$，即 $a=\sqrt{2}b$．

（2） 由（1），椭圆方程化为 $x^2+2y^2=2b^2$．设 $M(x_0,y_0)$ 在圆 $x^2+y^2=t^2$ 上，则 $x_0^2+y_0^2=t^2$，该点处圆的切线为 $x{x}_0+y{y}_0=t^2$． 取 $\mathbf{d}=(-y_0,x_0)$（$M\cdot \mathbf{d}=0$，$|\mathbf{d}{|}^2=t^2$），切线上任意一点可写为 $M+s\mathbf{d}$．设 $Q_i=M+s_i\mathbf{d}$（$i=1,2$），代入椭圆： $(x_0-s{y}_0{)}^2+2(y_0+s{x}_0{)}^2=2b^2,$ 即 $(2x_0^2+y_0^2)s^2+2x_0{y}_{0}s+(x_0^2+2y_0^2-2b^2)=0$，由韦达定理 $s_1{s}_2=\frac{x_0^2+2y_0^2-2b^2}{2x_0^2+y_0^2}.$ 而 $\overrightarrow{O{Q}_1}\cdot \overrightarrow{O{Q}_2}=(M+s_1\mathbf{d})\cdot (M+s_2\mathbf{d})=t^2+s_1{s}_2{t}^2=t^2(1+s_1{s}_2),$ 故 $O{Q}_1\perp O{Q}_2$ 当且仅当 $s_1{s}_2=-1$，等价于 $x_0^2+2y_0^2-2b^2=-(2x_0^2+y_0^2)⟺3(x_0^2+y_0^2)=2b^2⟺3t^2=2b^2.$ 故 $t=\sqrt{\frac{2}{3}}b$．此时 $t^2=\frac{2b^2}{3}<b^2$，圆内含于椭圆内部，切线必与椭圆交于两点，且垂直条件与 $M$ 的位置无关，命题对圆上任意 $M$ 成立．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与圆切线综合

核心方法：参数化切线用韦达，垂直化 s₁s₂=−1

避坑指南：OQ₁⊥OQ₂ ⟺ t²(1+s₁s₂)=0，与 M 位置无关的关键是 x₀²+y₀²=t²

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的切线与椭圆联立

结论推广：方向向量 d=(−y₀,x₀) 参数化直线是通用技巧

方法推广：定点/定值问题最后都归结为与参数无关的等式

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练(Links)

• 2013-安徽卷文-21 解-椭圆切线唯一性
• 2011-新课标卷文-20 解-圆的方程与垂直条件