2013-安徽卷文-21 解-椭圆切线唯一性

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于待定系数求方程、逐点构造+切线斜率比对的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 已知椭圆 $C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的焦距为 $4$，且过点 $P\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)设 $Q\left(x_0,y_0\right)$（$x_0{y}_0\ne 0$）为椭圆 $C$ 上一点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$. 取点 $A\left(0,2\sqrt{2}\right)$，连接 $AE$. 过点 $A$ 作 $AE$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $D$. 点 $G$ 是点 $D$ 关于 $y$ 轴的对称点，作直线 $QG$，问这样作出的直线 $QG$ 是否与椭圆 $C$ 一定有唯一的公共点？并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. (1) $c=2$，$a^2=b^2+4$；$\frac{2}{b^2+4}+\frac{3}{b^2}=1$ → $b^4-b^2-12=0$ → $b^2=4$，$a^2=8$。椭圆 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$。
2. (2) $E=(x_0,0)$；$k_{AE}=-\frac{2\sqrt{2}}{x_0}$ → $k_{AD}=\frac{x_0}{2\sqrt{2}}$；直线 $AD$ 与 $x$ 轴交于 $D=\left(-\frac{8}{x_0},0\right)$ → $G=\left(\frac{8}{x_0},0\right)$。
3. $k_{QG}=\frac{y_0}{x_0-\frac{8}{x_0}}=\frac{x_0{y}_0}{x_0^2-8}$；由 $y_0^2=4-\frac{x_0^2}{2}$ 得 $x_0^2-8=-2y_0^2$ → $k_{QG}=-\frac{x_0}{2y_0}$。
4. 椭圆在 $Q$ 处切线斜率（隐函数求导）为 $-\frac{x_0}{2y_0}$ = $k_{QG}$ → $QG$ 恒为切线 → 一定有唯一公共点 $Q$。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ (2)一定有唯一的公共点，理由见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由焦距为 $4$ 得 $c=2$，故 $a^2=b^2+4$。 椭圆过点 $P\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)$： $\frac{2}{b^2+4}+\frac{3}{b^2}=1\Rightarrow 2b^2+3(b^2+4)=b^2(b^2+4),$ 整理得 $b^4-b^2-12=0$，即 $(b^2-4)(b^2+3)=0$，故 $b^2=4$，$a^2=8$。 椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1.$ （2）一定有唯一的公共点。理由如下。 由 $Q(x_0,y_0)$ 在椭圆上（$x_0{y}_0\ne 0$），得 $y_0^2=4-\frac{x_0^2}{2}$，$x_0^2<8$。 垂足 $E(x_0,0)$，直线 $AE$ 的斜率 $k_{AE}=\frac{0-2\sqrt{2}}{x_0-0}=-\frac{2\sqrt{2}}{x_0}.$ $AD\perp AE$，故 $k_{AD}=\frac{x_0}{2\sqrt{2}}$，直线 $AD$：$y-2\sqrt{2}=\frac{x_0}{2\sqrt{2}}x$。 令 $y=0$：$x=-\frac{(2\sqrt{2}{)}^2}{x_0}=-\frac{8}{x_0}$，故 $D\left(-\frac{8}{x_0},0\right)$，其关于 $y$ 轴的对称点 $G\left(\frac{8}{x_0},0\right).$ 直线 $QG$ 的斜率（$x_0\ne \pm \frac{8}{x_0}$，因 $x_0^2\ne 8$）： $k_{QG}=\frac{y_0-0}{x_0-\frac{8}{x_0}}=\frac{x_0{y}_0}{x_0^2-8}.$ 由 $y_0^2=4-\frac{x_0^2}{2}$ 得 $x_0^2-8=-2y_0^2$，代入： $k_{QG}=\frac{x_0{y}_0}{-2y_0^2}=-\frac{x_0}{2y_0}.$ 另一方面，椭圆 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ 两边对 $x$ 求导：$\frac{2x}{8}+\frac{2y{y}^{\prime }}{4}=0$，得 $y^{\prime }=-\frac{x}{2y}$。 故椭圆在点 $Q(x_0,y_0)$ 处的切线斜率为 $-\frac{x_0}{2y_0}$，与 $k_{QG}$ 相等，且直线 $QG$ 过椭圆上的点 $Q$。 所以直线 $QG$ 就是椭圆 $C$ 在点 $Q$ 处的切线，与椭圆 $C$ 一定有唯一的公共点 $Q$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程与切线唯一性

核心方法：(1) $c=2$，$\frac{2}{a^2}+\frac{3}{b^2}=1$ 且 $a^2=b^2+4$ → $b^2=4$，$a^2=8$；(2) $G=\left(\frac{8}{x_0},0\right)$，$k_{QG}=\frac{x_0{y}_0}{x_0^2-8}=-\frac{x_0}{2y_0}$ = 椭圆在 $Q$ 处切线斜率 → 唯一公共点

避坑指南：(2) 的结论是”$QG$ 恒为椭圆在 $Q$ 处的切线”——用隐函数求导得切线斜率 $-\frac{x_0}{2y_0}$，再证直线 $QG$ 斜率与它相等；计算 $D$ 的横坐标时，"$AD\perp AE$"给出两条直线斜率互为负倒数，代错点就全盘皆输。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的标准方程、两直线垂直与切线唯一性（安徽卷压轴，构造性设问）。

结论推广：椭圆过点定方程；隐函数求导（或设切线方程联立 $\Delta =0$）求切线斜率；斜率乘积为 $-1$ 表垂直。

方法推广：(1) 两个条件解 $a^2,b^2$；(2) 逐点求 $E\to A\to D\to G$ → 写 $k_{QG}$ → 与切线斜率比对 → 结论”一定有唯一公共点”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-19 解-椭圆与菱形
• 2013-大纲卷文-08 单-椭圆标准方程
• 2013-新课标I卷文-21 解-椭圆与圆的公切线