2007-天津卷理-02 单-简单线性规划最值问题

本题导读

本题考查简单的线性规划问题。通过绘制二元一次不等式组构成的可行域，利用平行直线系平移法确定目标函数的最大值，考查数形结合思想与严谨的作图计算能力。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y\ge -1\\ x+y\ge 1\\ 3x-y\le 3\end{array}$，则目标函数 $z=4x+y$ 的最大值为()

A. 4　　　　　　　B. 11　　　　　　　C. 12　　　　　　　D. 14

🔍【思路分析】

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1. 作出约束条件对应的平面可行域；
2. 将目标函数变形为斜截式直线方程，分析截距的变化趋势；
3. 通过联立方程组求出可行域的顶点坐标，将顶点代入目标函数比对得出最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 绘制约束条件确定的可行域，其边界直线分别为： $l_1:x-y=-1$ $l_2:x+y=1$ $l_3:3x-y=3$

联立各直线方程求得交点（可行域的顶点）： 由 $\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ x+y=1\end{array}⟹A(0,1)$ 由 $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 3x-y=3\end{array}⟹B(1,0)$ 由 $\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ 3x-y=3\end{array}⟹C(2,3)$

令目标函数 $z=4x+y$，化为斜截式形式：$y=-4x+z$。 此直线系斜率为 $-4$，纵截距为 $z$。要使 $z$ 最大，只需直线在 $y$ 轴上的截距最大。 平行移动直线 $y=-4x+z$，观察可知，当直线经过可行域的顶点 $C(2,3)$ 时，纵截距取得最大值。 将 $C(2,3)$ 代入目标函数： $z_{\max }=4\times 2+3=11$ 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域的确定以及目标函数几何意义的理解。
2. 核心方法：图解法。找准边界交点，通过控制目标函数直线系的纵截距符号和位移方向求最值。
3. 避坑指南：

• 确定可行域时需注意不等号的方向，避免画错区域。
• 目标函数中 $y$ 的系数若为负数（如 $z=4x-y$），纵截距为 $-z$，此时截距最大对应 $z$ 最小，需格外警惕。本题 $y$ 的系数为 $+1$，无此陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于运筹学中线性规划（Linear Programming）简化模型，是传统高考对常规代数应用能力的保留考查。
2. 结论推广：若约束条件构成闭合凸多边形，线性目标函数的最值必在多边形的顶点（或边界）处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-09 单-线性规划
• 2018-全国卷II理-14 填-线性规划