2013-新课标II卷理-09 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及简单线性规划。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 9. 已知 $a>0$，实数 $x,y$ 满足：$\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x+y\le 3\\ y\ge a(x-3)\end{array}$，若 $z=2x+y$ 的最小值为 1，则 $a=$()

A. 2　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：
   • 直线 $x=1$ 是垂直于 $x$ 轴的直线；
   • 直线 $x+y=3$ 经过点 $(3,0)$ 和 $(0,3)$；
   • 直线 $y=a(x-3)$ 恒过定点 $(3,0)$，由于 $a>0$，其斜率为正。
2. 分析目标函数：
   • 将 $z=2x+y$ 变形为 $y=-2x+z$。
   • $z$ 的几何意义是直线在 $y$ 轴上截距的大小。要使 $z$ 最小，即直线向左下方平移至与可行域边界接触的极限位置。
3. 定位最优解：
   • 观察可行域形状，由于目标函数直线斜率为 $-2$，而可行域边界 $x+y=3$ 斜率为 $-1$，最小值的取得点通常在可行域的左侧顶点或下侧顶点。
4. 建立方程：
   • 根据“最小值为 1”这一条件，确定最优值点坐标，并代入含参直线方程求解 $a$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract


第一步：分析可行域与目标函数 目标函数 $z=2x+y$ 可化为 $y=-2x+z$。这是一组斜率为 $-2$ 的平行直线。 当直线经过可行域内点使得 $y$ 轴截距 $z$ 最小，即为最优解。

第二步：寻找最优值点坐标 已知最小值为 1，即当目标函数取得最小值时，$2x+y=1$。 观察不等式组中的边界： 由 $x\ge 1$ 可知，可行域最左侧边界为 $x=1$。 在 $x=1$ 这条直线上，使得 $2x+y=1$ 成立的点为： $2(1)+y=1⟹y=-1$。 即最优解点为 $C(1,-1)$。

第三步：代入参数直线方程 点 $C(1,-1)$ 必须位于可行域的边界上，具体而言是直线 $y=a(x-3)$ 与 $x=1$ 的交点。 将 $x=1,y=-1$ 代入 $y=a(x-3)$ 得： $-1=a(1-3)$ $-1=-2a$ 解得：$a=\frac{1}{2}$。

验证条件：当 $a=\frac{1}{2}$ 时，直线 $y=\frac{1}{2}(x-3)$ 与 $x+y=3$ 交于 $(3,0)$，可行域为以 $(1,2),(1,-1),(3,0)$ 为顶点的三角形，目标函数在 $(1,-1)$ 处取得最小值符合题意。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划中目标函数的几何意义（截距型）；可行域顶点的确定。

核心方法：图解法。通过平移目标函数直线，直观判断最优解所在的顶点。

避坑指南：- 注意 $a>0$ 的符号限制。 - 准确判断目标函数斜率与可行域边界斜率的大小关系，以确定最优解是哪个交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：距离型目标函数（如 $\sqrt{x^2+y^2}$）、斜率型目标函数（如 $\frac{y-b}{x-a}$）。

结论推广：对于截距型目标函数 $z=ax+by$，最优解往往在可行域的顶点或边界处取得。

方法推广：如果可行域不闭合，需要额外关注目标函数是否在无穷远处有界。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划