2007-天津卷理-03 单-三角方程求解

本题导读

本题将常用逻辑用语与三角函数恒等变换交汇考查。通过诱导公式化简三角对方程，通过判定条件的双向推出关系来确立充要核心结论，侧重考查逻辑推理的严谨性。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） “$\theta =\frac{2\pi }{3}$” 是 “$\tan \theta =2\cos \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)$” 的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 记 $p:\theta =\frac{2\pi }{3}$，$q:\tan \theta =2\cos \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)$；
2. 验证充分性：将 $\theta =\frac{2\pi }{3}$ 代入方程 $q$，看等式是否成立；
3. 验证必要性：利用诱导公式化简方程 $q$，解出 $\theta$ 的可能取值集合，比对是否能推出 $p$。

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“$\theta =\frac{2\pi }{3}$” 是 “$\tan \theta =2\cos \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)$” 的充分而不必要条件

✍【详细解析】

Abstract

解： 先化简条件 $q$ 的方程： 根据诱导公式 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)=-\sin \theta$，方程变形为： $\tan \theta =-2\sin \theta$ $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }+2\sin \theta =0⟹\sin \theta \left(\frac{1}{\cos \theta }+2\right)=0$ 由此得 $\sin \theta =0$ 或 $\cos \theta =-\frac{1}{2}$。

充分性验证： 若 $\theta =\frac{2\pi }{3}$，则 $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ 成立，满足方程。 所以 $p⟹q$ 为真，即充分性成立。

必要性验证： 若方程 $q$ 成立，则满足 $\sin \theta =0$ 或 $\cos \theta =-\frac{1}{2}$。 解得 $\theta =k\pi$ 或 $\theta =\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$。 显然，由 $q$ 无法唯一推出 $\theta =\frac{2\pi }{3}$（例如 $\theta =0$ 或 $\theta =\frac{4\pi }{3}$ 也能使方程成立）。 所以 $q⟹p$ 为假，即必要性不成立。

综上所述，“$\theta =\frac{2\pi }{3}$” 是 “$\tan \theta =2\cos \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)$” 的充分而不必要条件。 故选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分、必要条件的逻辑定义；诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”。
2. 核心方法：定义法。验证 $p⟹q$（充分性）与 $q⟹p$（必要性）。
3. 避坑指南：解三角方程 $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }+2\sin \theta =0$ 时，切忌在两边直接约去 $\sin \theta$，否则会漏掉 $\sin \theta =0$ 的解集，导致对必要性的错误误判。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是高考中经典的“小综合”题，通过常用逻辑用语作为外壳，包装了对三角函数基础公式和解方程的综合能力抽测。
2. 结论推广：逻辑判断题中，“小范围”可以推出“大范围”，但“大范围”推不出“小范围”。本题中 $p$ 对应的解集是 $q$ 对应庞大解集的一个真子集，故属于“小推大”，即充分不必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷理-05 单-数列
• 2020-新高考II卷-05 单-集合容斥