2007-天津卷理-13 填-数列极限

本题导读

本题考查等差数列的通项公式、前 $n$ 项和公式以及数列极限的求法。通过引入基本量首项与公差将极限式转化为关于 $n$ 的分式，进而利用分式极限的运算规则求解。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d$ 是 $2$，前 $n$ 项的和为 $S_n$，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n^2-n^2}{S_n}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设等差数列的首项为 $a_1$，结合 $d=2$ 用含 $a_1$ 和 $n$ 的代数式分别表示通项 $a_n$ 与前 $n$ 项和 $S_n$；
2. 将表达式代入分式中展开并整理，化简为两个关于 $n$ 的二次多项式之比；
3. 求当 $n\to \infty$ 时的极限，其结果等于分子与分母最高次项（$n^2$ 项）的系数之比。

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3

✍【详细解析】

Abstract

解： 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，由于公差 $d=2$，则： $a_n=a_1+(n-1)d=a_1+2(n-1)=2n+a_1-2$ $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2=n^2+(a_1-1)n$ 从而分子为： $a_n^2-n^2=(2n+a_1-2{)}^2-n^2=4n^2+4(a_1-2)n+(a_1-2{)}^2-n^2=3n^2+4(a_1-2)n+(a_1-2{)}^2$ 代入极限式得： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n^2-n^2}{S_n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{3n^2+4(a_1-2)n+(a_1-2{)}^2}{n^2+(a_1-1)n}$ 分子与分母同除以 $n^2$ 得： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{3+\frac{4(a_1-2)}{n}+\frac{(a_1-2{)}^2}{n^2}}{1+\frac{a_1-1}{n}}=\frac{3+0+0}{1+0}=3$ 故答案为 3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的基本公式，分式型通项数列的无穷远点极限性质。
2. 核心方法：公式代入与多项式降阶。
3. 避坑指南：展开分子 $(2n+a_1-2{)}^2$ 时项数较多，需注意计算的严谨度，不要漏掉项。只要抓住了决定极限值的最高次项（$n^2$ 项）的系数，其余一次项及常数项在无穷大极限中均趋于 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的数列与极限的交汇小题，考查内容处于高中基础代数向高等数学数学分析过渡的交界点。
2. 结论推广：若等差数列公差为 $d$ ($d\ne 0$)，则有 $a_n\sim dn$，$S_n\sim \frac{d}{2}{n}^2$。因此 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n^2-k\cdot n^2}{S_n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{d^2{n}^2-k{n}^2}{\frac{d}{2}{n}^2}=\frac{2(d^2-k)}{d}$。本题中 $d=2,k=1$，代入即得 $\frac{2(4-1)}{2}=3$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I理-06 单-排列组合
• 2013-上海卷理-12 填-函数奇偶性