2010-大纲卷I理-06 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合中的经典组合计数问题。核心在于根据“两类课程中各至少选一门”的限制条件，灵活选择直接分类计数或通过总数扣除不合题意情况的间接法进行求解。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 某校开设 $A$ 类选修课 3 门，$B$ 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()

A. 30 种　　　　　B. 35 种　　　　　C. 42 种　　　　　D. 48 种

🔍【思路分析】

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1. 方法一（直接法）：将“各至少选一门”拆解为两种互斥的情况：① $A$ 类选 1 门且 $B$ 类选 2 门；② $A$ 类选 2 门且 $B$ 类选 1 门。计算两类情况数后相加。

2. 方法二（间接法）：先计算从全部 7 门课中任选 3 门的总组合数，再扣除不合题意的极端情况（即 3 门全选 $A$ 类，或 3 门全选 $B$ 类）。

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A

✍【详细解析】

Abstract

解析一（直接分类法）： 根据题意，选出的 3 门课分配情况只有以下两种：

• 情况 1：从 $A$ 类选 1 门，从 $B$ 类选 2 门，选法有 $C_3^1\times C_4^2=3\times 6=18$ 种；
• 情况 2：从 $A$ 类选 2 门，从 $B$ 类选 1 门，选法有 $C_3^2\times C_4^1=3\times 4=12$ 种。 根据分类加法原理，总选法共有 $18+12=30$ 种。

解析二（间接排除法）： 不加限制任选 3 门的总选法为 $C_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$ 种。 其中不合题意的选法有：

• 3 门全部来自 $A$ 类：$C_3^3=1$ 种；

• 3 门全部来自 $B$ 类：$C_4^3=4$ 种。 所以，符合要求的不同选法共有 $35-1-4=30$ 种。 答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数公式 $C_n^m$，分类加法计数原理，正难则反思想。

2. 核心方法：无序元素的组合计数、对立面剔除法。

3. 避坑指南：选课属于无序组合，不需要考虑选修课程的先后顺序或修读安排，解题时切勿混淆错用排列数 $A_n^m$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的组合应用题，源自教材中排列组合基本概念的课后习题改编，旨在考查分步与分类思想在计数问题中的灵活运用。

2. 结论推广：从具有 $M$ 个元素的甲组和 $N$ 个元素的乙组中抽取 $k$ 个元素，要求两组均至少包含一个元素。当 $k$ 较小时，直接分类更不易漏项；当 $k$ 较大且接近总数时，采用“总组合数 $C_{M+N}^k-C_M^k-C_N^k$” 间接排除更高效。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用