2007-安徽卷文-04 单-反函数是自身

本题导读

本题考查反函数。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 下列函数中，反函数是其自身的函数为 ()

A. $f(x)=x^2$（$x\in [0,+\infty )$）　　　　　　　　　　B. $f(x)=x^3$（$x\in (-\infty ,+\infty )$）

C. $f(x)={\mathrm{e}}^x$（$x\in (-\infty ,+\infty )$）　　　　　　　　　　D. $f(x)=\frac{1}{x}$（$x\in (0,+\infty )$）

🔍【思路分析】

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1. A：$y=x^2$ 的反函数 $y=\sqrt{x}$，不同。
2. B：$y=x^3$ 的反函数 $y=\sqrt[3]{x}$，不同。
3. C：$y={\mathrm{e}}^x$ 的反函数 $y=\ln x$，不同。
4. D：$y=\frac{1}{x}$ 解出 $x=\frac{1}{y}$，反函数是其自身。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

选项 A 的反函数为 $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$（$x⩾0$）；选项 B 的反函数为 $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$；选项 C 的反函数为 $f^{-1}(x)=\ln x$；均不与原函数相同． 选项 D：由 $y=\frac{1}{x}$（$x>0$）解得 $x=\frac{1}{y}$（$y>0$），故 $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}$（$x>0$），反函数是其自身，故选 D． （图像特征：反函数是自身的函数，其图象关于直线 $y=x$ 对称——$y=\frac{1}{x}$（$x>0$）正是如此。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数是自身

核心方法：逐项求反函数对照；图象关于 $y=x$ 对称

避坑指南：定义域限制是前提：$y=x^2$ 在 $[0,+\infty )$ 的反函数是 $\sqrt{x}$；$y=\frac{1}{x}$（$x>0$）才是自反函数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数三问：求法、图象对称、自反函数，本题考”自反”这一特殊性质

结论推广：$y=\frac{1}{x}$、$y=-x$（限制域）、$y=x$ 是自反函数的代表

方法推广：分段函数的反函数与复合函数的反函数是升级方向

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练(Links)

• 2010-江西卷文-08 单-反函数与图象对称
• 2011-四川卷文-04 单-反函数图象
• 2008-重庆卷文-06 单-指数型反函数
• 2010-上海卷文-09 填-反函数与y轴交点