2010-江西卷文-08 单-反函数与图象对称

本题导读

考查反函数与对称。$y=\frac{ax}{1+x}$ 的反函数为 $y=\frac{x}{a-x}$，与原函数同一得 $a=-1$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 若函数 $y=\frac{ax}{1+x}$（$x\ne -1$）的图象关于直线 $y=x$ 对称，则 $a$ 为()

A. $1$　　　　　　B. $-1$　　　　　　C. $\pm 1$　　　　　　D. 任意实数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 图象关于 $y=x$ 对称 $⟺$ 原函数与反函数是同一函数。
2. 由 $y=\frac{ax}{1+x}$ 解出 $x=\frac{y}{a-y}$，故反函数为 $y=\frac{x}{a-x}$。
3. 两式同一：$\frac{ax}{1+x}=\frac{x}{a-x}$ 对一切 $x$ 成立，去分母 $ax(a-x)=x(1+x)$。
4. 展开：$a^{2}x-a{x}^2=x+x^2$。比较 $x^2$ 项：$-a=1$，$a=-1$；此时 $x$ 项 $a^2=1$ 相容。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

函数图象关于直线 $y=x$ 对称，当且仅当其反函数与原函数是同一函数. 由 $y=\frac{ax}{1+x}$ 得 $y(1+x)=ax$，即 $x(a-y)=y$，故 $x=\frac{y}{a-y}$， 反函数为 $y=\frac{x}{a-x}$（$x\ne a$）. 两函数为同一函数，即 $\frac{ax}{1+x}=\frac{x}{a-x}$ 对定义域内一切 $x$ 成立，去分母并展开： $ax(a-x)=a^{2}x-a{x}^2=x+x^2.$ 比较同次幂系数：$x^2$ 项给出 $-a=1$，即 $a=-1$；$x$ 项给出 $a^2=1$，即 $a=\pm 1$. 两者同时成立，故 $a=-1$. 此时原函数 $y=\frac{-x}{1+x}$ 与其反函数完全相同，图象关于 $y=x$ 对称. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数与图象关于 $y=x$ 对称

核心方法：图象关于 $y=x$ 对称 $⟺$ 反函数与原函数是同一函数；求反函数比系数

避坑指南：比较系数要按幂次逐项进行：$x^2$ 项给 $-a=1$，$x$ 项给 $a^2=1$，取交集 $a=-1$；只比一次项会误得 $a=\pm 1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数与其反函数的图象关于 $y=x$ 对称；反函数等于自身的函数图象即关于 $y=x$ 对称。

结论推广：分式线性函数 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ 的对称性、不动点可用同一法系统处理。

方法推广：“同一函数”的判定落在恒等式对一切定义域成立上，比较系数法是其代数化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-03 单-反函数
• 2009-大纲卷II文-02 单-反函数求法
• 2011-四川卷文-04 单-反函数图象
• 2012-大纲卷文-02 单-反函数