2007-安徽卷文-09 单-区域与圆距离最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及点与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 如果点 $P$ 在平面区域 $\{\begin{array}{l}2x-y+2⩾0,\\ x+y-2⩽0,\\ 2y-1⩾0\end{array}$ 上，点 $Q$ 在曲线 $x^2+(y+2{)}^2=1$ 上，那么 $|PQ|$ 的最小值为 ()

A. $\frac{3}{2}$　　　　　　B. $\frac{4}{\sqrt{5}}-1$　　　　　　C. $2\sqrt{2}-1$　　　　　　D. $\sqrt{2}-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 曲线是圆心 $C(0,-2)$、半径 $1$ 的圆；$|PQ{|}_{\min }=$（$C$ 到区域最近距离）$-1$。
2. 可行域三角形顶点：$(0,2)$、$\left(-\frac{3}{4},\frac{1}{2}\right)$、$\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$。
3. $C$ 到边 $y=\frac{1}{2}$（$x$ 从 $-\frac{3}{4}$ 到 $\frac{3}{2}$）的垂足 $(0,\frac{1}{2})$ 在线段内，距离 $2.5$。
4. 检验另两边与三顶点距离均大于 $2.5$，故 $|PQ{|}_{\min }=2.5-1=\frac{3}{2}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

曲线 $x^2+(y+2{)}^2=1$ 是圆心 $C(0,-2)$、半径 $1$ 的圆． 可行域三条边界：$2x-y+2=0$、$x+y-2=0$、$y=\frac{1}{2}$，围成三角形，顶点为 $(0,2)$、$\left(-\frac{3}{4},\frac{1}{2}\right)$、$\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$． 求 $C$ 到该三角形的最短距离： （i）到边 $y=\frac{1}{2}$ 的垂足为 $(0,\frac{1}{2})$，在线段内，距离 $\frac{5}{2}$； （ii）到边 $2x-y+2=0$ 的距离为 $\frac{|0+2+2|}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}\approx 1.79$，但垂足 $\left(-\frac{8}{5},-\frac{6}{5}\right)$ 不在该边线段上，最近点为端点 $\left(-\frac{3}{4},\frac{1}{2}\right)$，距离 $\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{109}}{4}\approx 2.61$； （iii）到边 $x+y-2=0$ 的垂足 $(2,0)$ 不在线段上，最近点为顶点 $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$，距离 $\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{34}}{2}\approx 2.92$． 所以 $C$ 到区域最近距离为 $\frac{5}{2}$，$|PQ{|}_{\min }=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$，故选 A． （易错点：圆心到直线的距离小不代表到”线段”的距离小——垂足落在线段外时必须用端点距离；B 选项 $\frac{4}{\sqrt{5}}-1$ 正是”忘记检查垂足”的陷阱。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：区域与圆距离最值

核心方法：圆心到区域最近距离减半径；垂足必须落在线段内

避坑指南：垂足在延长线上时用端点距离；选项 B $\frac{4}{\sqrt{5}}-1$ 是”忘记查垂足”的陷阱

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划区域与圆的距离最值结合，是”区域 + 曲线”复合题

结论推广：点集到圆的最短距离 = 点到圆心距离 − 半径（点在圆外时）

方法推广：升级：目标函数含绝对值、区域含参数的分类讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 17.03 点与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷I文-13 填-线性规划最值
• 2022-乙卷文-05
• 2007-浙江卷文-14 填-线性规划最小值
• 2008-北京卷文-06 单-线性规划最小值