2008-大纲卷I文-13 填-线性规划最值

本题导读

考查线性规划。可行域顶点 $(0,0)$、$(3,-3)$、$(3,6)$、$(0,3)$ 中，$z=2x-y$ 在 $(3,-3)$ 处最大，$z=9$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 若 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩾0,\\ x-y+3⩾0,\\ 0⩽x⩽3,\end{array}$ 则 $z=2x-y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画三条边界直线围成的可行域，确定顶点。
2. $x+y=0$ 与 $x=3$ 交于 $(3,-3)$；$x-y+3=0$ 与 $x=3$ 交于 $(3,6)$；与 $x=0$ 分别交于 $(0,0)$、$(0,3)$。
3. 直线族 $2x-y=z$ 中 $z$ 越大直线越靠右下，比较各顶点 $z$ 值。

✅【答案】

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$9$

✍【详细解析】

Abstract

可行域由 $x+y⩾0$、$x-y+3⩾0$、$0⩽x⩽3$ 围成，四个顶点为 $(0,0),(3,-3),(3,6),(0,3).$ 逐点计算 $z=2x-y$： $(0,0)$：$z=0$；$(3,-3)$：$z=6+3=9$；$(3,6)$：$z=6-6=0$；$(0,3)$：$z=-3$. 所以 $z_{\max }=9$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最值

核心方法：顶点 $(3,-3)$ 处 $z=2x-y=9$ 最大

避坑指南：可行域是 $x\in [0,3]$ 上的四边形；$z=2x-y$ 的 $y$ 系数为负，$z$ 增大方向为右下；顶点逐一代入最稳。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划是填空题常客，2009 天津文第 2 题、2010 大纲Ⅰ文第 3 题同型。

结论推广：平移直线族 $2x-y=z$；最优解在顶点处取得。

方法推广：画准可行域、标全顶点，逐一代入；$y$ 系数为负时最大值在右下角顶点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2010-大纲卷I文-03 单-线性规划最值
• 2010-新课标卷文-11 单-平行四边形线性规划
• 2010-天津卷文-02 单-线性规划最值