2007-安徽卷文-11 单-奇周期函数零点个数

本题导读

本题考查奇函数，以及周期函数。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 既是奇函数，又是周期函数，$T$ 是它的一个正周期．若将方程 $f(x)=0$ 在闭区间 $[-T,T]$ 上的根的个数记为 $n$，则 $n$ 可能为 ()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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1. 奇函数 $f(0)=0$；周期性 $f(\pm T)=f(0)=0$，故 $x=-T,0,T$ 都是根，$n⩾3$。
2. 根关于原点对称分布（非零根成对），故 $n$ 为奇数。
3. 构造 $f(x)=\sin \frac{2\pi x}{T}$：$[-T,T]$ 内根为 $-T,-\frac{T}{2},0,\frac{T}{2},T$ 共 5 个，$n=5$ 可取。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $f$ 是奇函数得 $f(0)=0$；由 $T$ 是周期得 $f(-T)=f(0)=f(T)=0$，故 $-T$，$0$，$T$ 都是方程的根． 更关键地，$f\left(\frac{T}{2}\right)=f\left(\frac{T}{2}-T\right)=f\left(-\frac{T}{2}\right)=-f\left(\frac{T}{2}\right)$，所以 $f\left(\frac{T}{2}\right)=0$，同理 $f\left(-\frac{T}{2}\right)=0$． 于是 $-T,-\frac{T}{2},0,\frac{T}{2},T$ 至少 $5$ 个根，$n⩾5$，排除 A、B、C． 构造 $f(x)=\sin \frac{2\pi x}{T}$：它是奇函数且以 $T$ 为周期，在 $[-T,T]$ 上零点恰为 $x=-T,-\frac{T}{2},0,\frac{T}{2},T$ 共 $5$ 个，故 $n=5$ 可以取到，选 D． （点睛：奇性与周期性联用，$f\left(\frac{T}{2}\right)=0$ 是本题的隐藏必根；一切奇周期函数在 $[0,T)$ 内的零点必然含 $0$ 与 $\frac{T}{2}$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇周期函数零点个数

核心方法：奇 + 周期联用：$f\left(\frac{T}{2}\right)=-f\left(\frac{T}{2}\right)=0$ 是隐藏必根

避坑指南：根在 $[0,T)$ 内必然含 $0$ 与 $\frac{T}{2}$，故 $[-T,T]$ 上至少 5 个；别只数 $-T,0,T$ 三个

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数性质复合（奇偶 + 周期）的零点个数问题，安徽卷特色构造题

结论推广：奇周期函数的零点分布定理：$[0,T)$ 内至少有 $0$、$\frac{T}{2}$ 两个零点

方法推广：推广：$f(x)$ 奇且周期 $T$ ⇒ $f$ 的图象关于 $\left(\frac{T}{2},0\right)$ 中心对称

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2007-新课标卷文-02 单-全称量词命题的否定
• 2010-四川卷文-16 填-封闭集新定义
• 2008-上海卷文-09 填-偶函数定值域
• 2010-上海卷文-16 单-正切与充要条件