2008-上海卷文-09 填-偶函数定值域

本题导读

考查偶函数定参与值域。展开后一次项系数为零、开口向下、最大值 $4$；$a=0$ 时值域不合，故 $b=-2$，$f(x)=-2x^2+4$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 若函数 $f(x)=(x+a)(bx+2a)$（常数 $a$，$b\in \mathbf{R}$）是偶函数，且它的值域为 $(-\infty ,4]$，则该函数的解析式 $f(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开：$f(x)=b{x}^2+a(2+b)x+2a^2$。
2. 偶函数：一次项系数 $a(2+b)=0$。
3. 若 $a=0$：$f(x)=b{x}^2$，值域为 $(-\infty ,0]$（$b<0$）或 $[0,+\infty )$（$b>0$）或 $\{0\}$，均不为 $(-\infty ,4]$，舍；故 $b=-2$。
4. $f(x)=-2x^2+2a^2$，值域 $(-\infty ,2a^2]$，$2a^2=4\Rightarrow a=\pm 2$。
5. $f(x)=-2x^2+4$。

✅【答案】

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$-2x^2+4$

✍【详细解析】

Abstract

展开：$f(x)=b{x}^2+(2a+ab)x+2a^2$. $f$ 是偶函数，故一次项系数为零：$a(2+b)=0$. 若 $a=0$，则 $f(x)=b{x}^2$，其值域为 $(-\infty ,0]$（$b<0$ 时）、$[0,+\infty )$（$b>0$ 时）或 $\{0\}$（$b=0$ 时），都不可能是 $(-\infty ,4]$，故 $a\ne 0$. 于是 $b=-2$，此时 $f(x)=-2x^2+2a^2,$ 值域为 $(-\infty ,2a^2]$，由题设 $2a^2=4$，即 $a=\pm 2$. 所以 $f(x)=-2x^2+4.$ 故答案为 $-2x^2+4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数定参与值域

核心方法：$a(2+b)=0$，$a=0$ 舍，$b=-2$，$2a^2=4$，$f(x)=-2x^2+4$

避坑指南：偶函数 $⟺$ 一次项系数为零；值域 $(-\infty ,4]$ 给出开口向下与最大值两条信息；$a=0$ 的分支必须单独检验后舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“解析式带参 + 偶函数 + 值域”三合一，2009 四川文第 12 题、2010 江苏卷第 5 题同型。

结论推广：$A{x}^2+B$ 型：偶函数自动满足；值域 $(-\infty ,B]$（$A<0$）；$B$ 即最大值。

方法推广：展开别漏 $a\times 2a=2a^2$；$a=0$ 时值域 $(-\infty ,0]$ 与 $(-\infty ,4]$ 的差异是舍去依据——分类讨论要有出口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-12 单-抽象偶函数
• 2010-江苏卷-05 填-偶函数定参
• 2009-陕西卷文-10 单-偶函数单调性
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性