2007-安徽卷文-20 解-三角配方最小值函数

本题导读

本题考查三角恒等变换。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 设函数 $f(x)=-{\cos }^{2}x-4t\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+4t^3+t^2-3t+4$，$x\in \mathbf{R}$，其中 $|t|⩽1$．将 $f(x)$ 的最小值记为 $g(t)$． （1）求 $g(t)$ 的表达式； （2）讨论 $g(t)$ 在区间 $(-1,1)$ 内的单调性并求极值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用 ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ 与 $2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x$ 化简。
2. 配方：$f(x)=(\sin x-t{)}^2+4t^3-3t+3$；$|t|⩽1$ 时 $\sin x=t$ 有解，最小值即常数项。
3. （2）$g^{\prime }(t)=12t^2-3=3(2t-1)(2t+1)$，分区间定号；极值 $g\left(-\frac{1}{2}\right)=4$、$g\left(\frac{1}{2}\right)=2$。

✅【答案】

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（1）$g(t)=4t^3-3t+3$（$-1⩽t⩽1$）；（2）$g(t)$ 在 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ 与 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 内递增、在 $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 内递减；极大值 $4$（$t=-\frac{1}{2}$），极小值 $2$（$t=\frac{1}{2}$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）利用 ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ 以及 $2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x$，有 $f(x)={\sin }^{2}x-2t\sin x+4t^3+t^2-3t+3={\left(\sin x-t\right)}^2+4t^3-3t+3.$ 当 $|t|⩽1$ 时，可以取到 $\sin x=t$，故 $f(x)$ 的最小值为 $g(t)=4t^3-3t+3,-1⩽t⩽1.$ （2）$g^{\prime }(t)=12t^2-3=3(2t-1)(2t+1)$．因此 $g^{\prime }(t)>0$ 在 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ 和 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 内成立，$g^{\prime }(t)<0$ 在 $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 内成立． 所以 $g(t)$ 在 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ 和 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 内单调递增，在 $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 内单调递减． 又 $g\left(-\frac{1}{2}\right)=4\times \left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{3}{2}+3=4$，$g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+3=2$，所以 $g(t)$ 在 $(-1,1)$ 内的极大值为 $4$，在 $t=-\frac{1}{2}$ 处取得；极小值为 $2$，在 $t=\frac{1}{2}$ 处取得． （结构点睛："$-{\cos }^{2}x-4t\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+t^2$"三项恰好配成 ${\left(\sin x-t\right)}^2$ 的负片——先恒等变形再配方，是三角与二次函数嫁接题的标准第一步。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角配方最小值函数

核心方法：恒等变形 + 配方 $f(x)=(\sin x-t{)}^2+h(t)$；$|t|⩽1$ 保证 $\sin x=t$ 可取

避坑指南：最小值是常数项的前提是 $|t|⩽1$；$g^{\prime }(t)=3(2t-1)(2t+1)$ 的因式分解别错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数与二次函数、导数的嫁接题：先配方再对参数求导

结论推广：$g(t)=4t^3-3t+3$ 与切比雪夫多项式 $T_3$ 同构（$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$）

方法推广：推广：最小值函数 $g(t)$ 的单调性与极值讨论是”函数套函数”的通用套路

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域
• 2007-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2009-天津卷文-21 解-导数零点恒成立
• 2011-天津卷文-07 单-三角函数图象性质