2009-天津卷文-21 解-导数零点恒成立

本题导读

导数压轴。(1) $f^{\prime }(1)=1$；(2) 增区间 $(1-m,1+m)$，极大值 $f(1+m)=\frac{2m^3}{3}+m^2-\frac{1}{3}$，极小值 $f(1-m)=-\frac{2m^3}{3}+m^2-\frac{1}{3}$；(3) $m\in \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 设函数 $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+x^2+(m^2-1)x$（$x\in \mathbf{R}$），其中 $m>0$.

(1)当 $m=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线的斜率；

(2)求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值；

(3)已知函数 $f(x)$ 有三个互不相同的零点 $0$，$x_1$，$x_2$，且 $x_1<x_2$.若对任意的 $x\in [x_1,x_2]$，$f(x)>f(1)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $f^{\prime }(x)=-x^2+2x+m^2-1$，$m=1$ 时 $f^{\prime }(1)=1$。
2. (2) $f^{\prime }(x)=-(x-1-m)(x-1+m)$：增 $(1-m,1+m)$，减两侧；极大 $f(1+m)$，极小 $f(1-m)$。
3. (3) 三零点 $⟺12m^2-3>0⟺m>\frac{1}{2}$；$m⩾1$ 时 $x_1<0$，$[x_1,x_2]$ 内有 $f<0$ 的点而 $f(1)>0$，不合题意；$\frac{1}{2}<m<1$ 时 $[x_1,x_2]$ 上最小值为 $0$，条件等价于 $f(1)<0$，即 $m<\frac{\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

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(1) $1$；(2)增区间 $(1-m,1+m)$，减区间 $(-\infty ,1-m)$、$(1+m,+\infty )$，极大值 $\frac{2m^3}{3}+m^2-\frac{1}{3}$，极小值 $-\frac{2m^3}{3}+m^2-\frac{1}{3}$ (3) $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $m=1$ 时 $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+x^2$，$f^{\prime }(x)=-x^2+2x$，$f^{\prime }(1)=1$，故切线斜率为 $1$。

（2） $f^{\prime }(x)=-x^2+2x+(m^2-1)=-\left[x-(1+m)\right]\left[x-(1-m)\right]$。 当 $x\in (1-m,1+m)$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；当 $x\in (-\infty ,1-m)$ 或 $(1+m,+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。 故 $f(x)$ 在 $x=1+m$ 处取得极大值 $f(1+m)=\frac{2m^3}{3}+m^2-\frac{1}{3}$，在 $x=1-m$ 处取得极小值 $f(1-m)=-\frac{2m^3}{3}+m^2-\frac{1}{3}$。

（3） $f(x)=x\left(-\frac{1}{3}{x}^2+x+m^2-1\right)$，$f(x)$ 有三个互不相同零点等价于二次方程 $-\frac{1}{3}{x}^2+x+m^2-1=0$ 有两个非零实根，即 $\Delta =9-12(m^2-1)=3(4m^2-1)>0$，得 $m>\frac{1}{2}$。 设 $g(x)=-\frac{1}{3}{x}^2+x+m^2-1$，其两根 $x_1$，$x_2$ 满足 $x_1+x_2=3$，$x_1{x}_2=3(1-m^2)$。

• 若 $m⩾1$，则 $x_1{x}_2⩽0$，$x_1<0<x_2$。此时 $x_1$ 在 $f$ 的递减区间 $(-\infty ,1-m)$ 内，$f$ 在 $(x_1,1-m)$ 上取负值，而 $f(1)=m^2-\frac{1}{3}>0$，与 $f(x)>f(1)$ 恒成立矛盾。
• 若 $\frac{1}{2}<m<1$，则 $x_1{x}_2>0$ 且 $x_1+x_2=3$，两根均正，$0<x_1<x_2$。由（2）知 $f(1-m)=-\frac{2m^3}{3}+m^2-\frac{1}{3}<0$、$f(1+m)>0$，故 $x_1\in (1-m,1+m)$，且 $f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上的最小值为 $f(x_1)=f(x_2)=0$。 于是条件等价于 $0>f(1)=m^2-\frac{1}{3}$，即 $m<\frac{\sqrt{3}}{3}$。 综上，$m$ 的取值范围是 $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义、单调性与极值、零点与恒成立

核心方法：求导定斜率 + 判号分区间 + 零点分布与最小值控制

避坑指南：(3) 的分水岭是 $x_1{x}_2=3(1-m^2)$ 的符号：$m⩾1$ 时 $x_1<0$ 必排除；$\frac{1}{2}<m<1$ 时区间最小值为 $0$，条件等价于 $f(1)<0$，注意 $m=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时端点取等不成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数零点分布 + 区间恒成立是导数压轴的经典组合。

结论推广：$f^{\prime }(x)=-\left[x-(1+m)\right]\left[x-(1-m)\right]$，开口向下决定”中间增、两侧减”。

方法推广：三零点 $⟺$ 二次因子判别式 $3(4m^2-1)>0$，先给 $m>\frac{1}{2}$ 的门槛。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-19 解-导数切线单调与零点
• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2011-浙江卷文-21 解-导数单调性与恒成立