2007-安徽卷理-04 单-复数相等充要条件

本题导读

本题考查复数的代数代换与代数方程运算。核心在于利用复数相等的充要条件，将分式方程通过去分母转化为多项式乘法，展开并合并同类项以求解实数参数。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 若 $a$ 为实数， $\frac{2+a\text{i}}{1+\sqrt{2}\text{i}}=-\sqrt{2}\text{i}$，则 $a$ 等于()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $-\sqrt{2}$　　　　　　　C. $2\sqrt{2}$　　　　　　　D. $-2\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程去分母变形：两边同乘以分母 $(1+\sqrt{2}\text{i})$，将分式化为整式乘法结构： $2+a\text{i}=-\sqrt{2}\text{i}(1+\sqrt{2}\text{i})$。

2. 多项式分配律展开：将右侧单项式乘多项式展开，注意利用复数定义 ${\text{i}}^2=-1$ 消除 ${\text{i}}^2$。

3. 对应系数比对：将右侧整理为标准的 $A+B\text{i}$ 形式，比对虚部系数，直接求出 $a$ 的值。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

解：将已知复数方程两边同时乘以分母 $(1+\sqrt{2}\text{i})$： $2+a\text{i}=-\sqrt{2}\text{i}\left(1+\sqrt{2}\text{i}\right)$

将等式右侧利用乘法分配律展开： $2+a\text{i}=-\sqrt{2}\text{i}-\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times {\text{i}}^2$ $2+a\text{i}=-\sqrt{2}\text{i}-2{\text{i}}^2$

因为虚数单位满足 ${\text{i}}^2=-1$， 代入上式中： $2+a\text{i}=-\sqrt{2}\text{i}-2(-1)$ 整理成标准形式（实部在前，虚部在后）： $2+a\text{i}=2-\sqrt{2}\text{i}$

根据两个复数相等的充要条件（实部对应相等，虚部对应相等）， 比对等式两边的虚部系数： $a=-\sqrt{2}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数乘法法则、 ${\text{i}}^2=-1$ 引起的代数符号恒等翻转、复数相等的系数比对原理。
2. 核心方法：移项乘法展开法（此法比直接在左侧进行“分子分母同乘共轭复数”的除法运算速度更快，不容易在繁琐的计算中出错）。
3. 避坑指南：

• 在计算 $-2{\text{i}}^2$ 时，千万注意双重负号的叠加。 ${\text{i}}^2=-1$， 故 $-2{\text{i}}^2=-2\times (-1)=+2$。如果看错符号，会导致实部无法对消从而怀疑人生。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学选修等内容中复数概念的基本代数运算，属于高频常考基础题。

2. 结论推广: 针对任何满足 $\frac{A+B\text{i}}{C+D\text{i}}=E\text{i}$ 形式的纯虚数商方程， 均可等价转化为 $A+B\text{i}=-DE+CE\text{i}$ 结构。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语