2007-山东卷理-20 解-方位角模型

本题导读

本题以航海实际问题为背景，核心考查解三角形中余弦定理的应用。试题通过方位角的几何描述构建平面多边形，要求学生能够将实际航向与时间距离关系转化为三角形的边角信息，侧重考查数形结合思维与数据运算能力。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 如图，甲船以每小时 $30\sqrt{2}$ 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于 $A_1$ 处时，乙船位于甲船的北偏西 $105^{\circ }$ 方向的 $B_1$ 处，此时两船相距 20 海里．当甲船航行 20 分钟到达 $A_2$ 处时，乙船航行到甲船的北偏西 $120^{\circ }$ 方向的 $B_2$ 处，此时两船相距 $10\sqrt{2}$ 海里．问乙船每小时航行多少海里？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取边角：由甲船速度与时间求出 $A_1{A}_2$，根据方位角定义确定 $\angle A_1{A}_2{B}_2$。

2. 特殊化突破：利用 $A_1{A}_2=A_2{B}_2$ 且夹角为 $60^{\circ }$ 判定 $△A_1{A}_2{B}_2$ 为等边三角形，进而求出 $A_1{B}_2$ 长度与 $\angle B_1{A}_1{B}_2$。

3. 求解终值：在 $△B_1{A}_1{B}_2$ 中运用余弦定理求出 $B_1{B}_2$，最终转化得到乙船的时速。

✅【答案】

点击查看答案

（1）取正东方向为𝑥轴正向，正北方向为𝑦轴正向，并令𝐴1(0,0).甲船20分钟航行的距离为30√2×13=10√2,

✍【详细解析】

Abstract

由题意知，甲船航行时间 $\Delta t=20\text{ 分钟}=\frac{1}{3}\text{ 小时}$． 则甲船航行的距离为 $A_1{A}_2=30\sqrt{2}\times \frac{1}{3}=10\sqrt{2}$（海里）． 连接 $A_1{B}_2$．因为甲船向正北方向航行，且 $B_2$ 在 $A_2$ 的北偏西 $120^{\circ }$ 方向， 所以 $\angle A_1{A}_2{B}_2=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$． 又已知 $A_2{B}_2=10\sqrt{2}$ 海里，所以在 $△A_1{A}_2{B}_2$ 中，$A_1{A}_2=A_2{B}_2$ 且 $\angle A_1{A}_2{B}_2=60^{\circ }$， 故 $△A_1{A}_2{B}_2$ 为等边三角形． 可得 $A_1{B}_2=10\sqrt{2}$ 海里，$\angle A_2{A}_1{B}_2=60^{\circ }$． 因为 $B_1$ 在 $A_1$ 的北偏西 $105^{\circ }$ 方向， 所以 $\angle B_1{A}_1{B}_2=\angle A_2{A}_1{B}_1-\angle A_2{A}_1{B}_2=105^{\circ }-60^{\circ }=45^{\circ }$． 在 $△B_1{A}_1{B}_2$ 中，已知 $A_1{B}_1=20$，$A_1{B}_2=10\sqrt{2}$，$\angle B_1{A}_1{B}_2=45^{\circ }$． 由余弦定理得： $B_1{B}_2^2=A_1{B}_1^2+A_1{B}_2^2-2A_1{B}_1\cdot A_1{B}_2\cos \angle B_1{A}_1{B}_2$ $B_1{B}_2^2=20^2+(10\sqrt{2}{)}^2-2\times 20\times 10\sqrt{2}\times \cos 45^{\circ }$ $B_1{B}_2^2=400+200-400\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=600-400=200$ 解得 $B_1{B}_2=10\sqrt{2}$（海里）． 所以乙船每小时航行的海里数为 $\frac{B_1{B}_2}{\Delta t}=\frac{10\sqrt{2}}{\frac{1}{3}}=30\sqrt{2}$（海里）． 答：乙船每小时航行 $30\sqrt{2}$ 海里．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：方位角的几何识图，等边三角形的判定，利用余弦定理进行多三角形关联边求解。

2. 核心方法：借助中间公共边（如 $A_1{B}_2$）实现已知条件在不同三角形间的跨越传递。

3. 避坑指南：方位角以正北或正南线为始边，极易误将 $120^{\circ }$ 误作三角形内角；在做图时，必须理清两船在 $t=0$ 和 $t=20$ min 两个不同时刻的相对位置空间几何关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于人教版必修 5 第三章“解三角形应用举例”中的经典双船追及或相向航行问题，是由教材练习题进行多视角组合演变而来的标准大纲考题。

5. 结论推广：在网格或平面二维平面运动模型中，两匀速直线运动质点间的相对距离 $d(t)$ 随时间 $t$ 的变化规律满足二次函数关系，其本质是两运动向量之差的模长公式运用，可通过解三角形直接确定任意时刻的距离最值或速度矢量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷理-17 解-解三角形