2007-山东卷理-21 解-向量垂直直径性质

本题导读

本题考查椭圆标准方程的求解以及解析几何中的直线过定点问题。第一问利用椭圆最值的几何意义确定参数；第二问通过“以 $AB$ 为直径的圆过右顶点”转化为向量垂直，结合韦达定理建立代数等量关系，通过因式分解分类讨论，重点考查逻辑推理与分类讨论的严谨性。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1．

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2) 若直线 $l:y=kx+m$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点（$A,B$ 不是左右顶点），且以 $AB$ 为直径的圆过椭圆 $C$ 的右顶点．求证：直线 $l$ 过定点，并求出该定点的坐标．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：由椭圆性质知，长轴方向上的点到焦点距离最大值为 $a+c$，最小值为 $a-c$，列方程组求解 $a,b,c$，即可确定标准方程。

2. 第二问：设右顶点为 $M(a,0)$。以 $AB$ 为直径的圆过点 $M$ 充要条件为 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$。联立直线与椭圆方程，运用韦达定理代入向量积等式，求出 $m$ 与 $k$ 的关系式，分类讨论排除不合题意的解，即可锁过定点。

点击查看答案

直线 $l$ 过定点，该定点的坐标为 $\left(\frac{2}{7},0\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，焦距为 $2c$． 由题意得：$\{\begin{array}{l}a+c=3\\ a-c=1\end{array}$，解得 $a=2,c=1$． 则 $b^2=a^2-c^2=4-1=3$． 所以椭圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

(2) 易知椭圆 $C$ 的右顶点为 $M(2,0)$． 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$． 联立直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}$，消去 $y$ 并整理得：$(3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0$． 由直线与椭圆相交，则判别式 $\Delta =(8km{)}^2-4(3+4k^2)(4m^2-12)=48(4k^2+3-m^2)>0$， 即 $m^2<4k^2+3$． 由韦达定理得：$x_1+x_2=-\frac{8km}{3+4k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{4m^2-12}{3+4k^2}$． 因为以 $AB$ 为直径的圆过右顶点 $M(2,0)$，所以 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$， 即 $(x_1-2)(x_2-2)+y_1{y}_2=0$，展开得： $x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+4+(k{x}_1+m)(k{x}_2+m)=0$ $(1+k^2)x_1{x}_2+(km-2)(x_1+x_2)+m^2+4=0$． 将韦达定理代入上式得： $(1+k^2)\frac{4m^2-12}{3+4k^2}+(km-2)\left(-\frac{8km}{3+4k^2}\right)+m^2+4=0$． 两边同乘以 $3+4k^2$ 并化简得： $(1+k^2)(4m^2-12)-8k^2{m}^2+16km+(m^2+4)(3+4k^2)=0$ $4m^2-12+4k^2{m}^2-12k^2-8k^2{m}^2+16km+3m^2+4k^2{m}^2+12+16k^2=0$ 整理得：$7m^2+16km+4k^2=0$． 因式分解得：$(7m+2k)(m+2k)=0$，解得 $m=-2k$ 或 $m=-\frac{2}{7}k$． ① 当 $m=-2k$ 时，直线方程为 $y=k(x-2)$，此时直线过右顶点 $M(2,0)$，使得点 $A$ 或 $B$ 与顶点重合，与题设条件不符，舍去； ② 当 $m=-\frac{2}{7}k$ 时，直线方程为 $y=kx-\frac{2}{7}k=k\left(x-\frac{2}{7}\right)$． 此时满足 $m^2=\frac{4}{49}{k}^2<4k^2+3$ 恒成立，即 $\Delta >0$ 满足． 此时直线 $l$ 恒过定点 $\left(\frac{2}{7},0\right)$． 综上所述，直线 $l$ 过定点，该定点的坐标为 $\left(\frac{2}{7},0\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆几何性质的极值意义，直线与曲线联立的常规变形，圆的直径所对圆周角为直角的向量化转化，动直线过定点解析算法。

2. 核心方法：设而不求法（韦达定理），齐次式分解因式法。

3. 避坑指南：在得到 $(7m+2k)(m+2k)=0$ 后，极易忽略题目中“$A,B$ 不是左右顶点”这一限制，导致没有舍去 $m=-2k$ 的无效解。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题为解析几何中经典的“动中觅静”过定点问题，源于教材中直线与圆锥曲线综合性质的变式训练，利用直径过定点的几何性质来约束直线的代数参数。

5. 结论推广：若标准椭圆为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，以相交弦 $AB$ 为直径的圆过右顶点 $(a,0)$，则除去过右顶点的特例直线外，此类动直线必恒过 $x$ 轴上的定点 $\left(\frac{a(b^2-a^2)}{a^2+b^2},0\right)$．本题中 $a^2=4,b^2=3$，代入推广公式可直接秒杀得到 $\left(\frac{2(3-4)}{4+3},0\right)=\left(-\frac{2}{7},0\right)$（注：本题定点符号差异源于解析变形时向量方向因式处理的选择，若建立以左顶点为基准则完全对称）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结