2019-北京卷文-19 解-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于设直线方程与联立方程法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $(1,0)$，且经过点 $A(0,1)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；

(2) 设 $O$ 为原点，直线 $l:y=kx+t(t\ne \pm 1)$ 与椭圆 $C$ 交于两个不同点 $P,Q$，直线 $AP$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，直线 $AQ$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，若 $|OM|\cdot |ON|=2$，求证：直线 $l$ 经过定点.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据右焦点坐标 $(1,0)$ 得 $c=1$，由椭圆过点 $A(0,1)$ 得 $b=1$，再利用 $a^2=b^2+c^2$ 求出 $a^2$，写出椭圆方程。
2. 第二问：设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，将直线 $l$ 代入椭圆方程，利用韦达定理写出 $x_1+x_2$ 与 $x_1{x}_2$ 的表达式。写出直线 $AP$ 和 $AQ$ 的方程，求出其与 $x$ 轴交点 $M,N$ 的横坐标，结合 $|OM|\cdot |ON|=2$ 建立关于 $k,t$ 的方程，从而化简并证明直线过定点。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{2}+y^2=1$。

(2)证明见解析（直线 $l$ 经过定点 $(0,0)$）。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意知，椭圆的右焦点为 $(1,0)$，所以 $c=1$. 因为椭圆经过点 $A(0,1)$，所以 $b=1$. 由 $a^2=b^2+c^2$ 得 $a^2=1^2+1^2=2$. 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$.

(2) 设点 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$. 联立直线 $l:y=kx+t$ 与椭圆方程 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$： $\{\begin{array}{l}y=kx+t\\ x^2+2y^2=2\end{array}$ 消去 $y$ 得：$x^2+2(kx+t{)}^2=2$， 即 $(1+2k^2)x^2+4ktx+2t^2-2=0$. 因为直线 $l$ 与椭圆交于两不同点 $P,Q$， 故判别式 $\Delta =(4kt{)}^2-4(1+2k^2)(2t^2-2)>0$， 化简得 $2k^2-t^2+1>0$. 由韦达定理可得： $x_1+x_2=\frac{-4kt}{1+2k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{2t^2-2}{1+2k^2}$. 直线 $AP$ 的方程为 $y-1=\frac{y_1-1}{x_1}x$. 令 $y=0$，求得点 $M$ 的横坐标 $x_M=\frac{-x_1}{y_1-1}$. 同理，直线 $AQ$ 与 $x$ 轴交点 $N$ 的横坐标为 $x_N=\frac{-x_2}{y_2-1}$. 因为 $y_1=k{x}_1+t$，$y_2=k{x}_2+t$， 所以 $y_1-1=k{x}_1+t-1$，$y_2-1=k{x}_2+t-1$. 故 $x_M=\frac{-x_1}{k{x}_1+t-1}$，$x_N=\frac{-x_2}{k{x}_2+t-1}$. 由 $|OM|\cdot |ON|=2$，即 $|x_M\cdot x_N|=2$， 所以 $\left|\frac{x_1{x}_2}{(k{x}_1+t-1)(k{x}_2+t-1)}\right|=2$. 展开分母： $(k{x}_1+t-1)(k{x}_2+t-1)=k^2{x}_1{x}_2+k(t-1)(x_1+x_2)+(t-1{)}^2$. 代入韦达定理： 分母 $=k^2\left(\frac{2t^2-2}{1+2k^2}\right)+k(t-1)\left(\frac{-4kt}{1+2k^2}\right)+(t-1{)}^2$ $=\frac{2k^2{t}^2-2k^2-4k^2{t}^2+4k^{2}t+(1+2k^2)(t-1{)}^2}{1+2k^2}$ $=\frac{-2k^2{t}^2+4k^{2}t-2k^2+(1+2k^2)(t^2-2t+1)}{1+2k^2}$ $=\frac{-2k^2{t}^2+4k^{2}t-2k^2+t^2-2t+1+2k^2{t}^2-4k^{2}t+2k^2}{1+2k^2}$ $=\frac{t^2-2t+1}{1+2k^2}=\frac{(t-1{)}^2}{1+2k^2}$. 此时 $\left|\frac{x_1{x}_2}{\text{分母}}\right|=\left|\frac{\frac{2t^2-2}{1+2k^2}}{\frac{(t-1{)}^2}{1+2k^2}}\right|=\left|\frac{2(t-1)(t+1)}{(t-1{)}^2}\right|=\left|\frac{2(t+1)}{t-1}\right|$. 由 $|OM|\cdot |ON|=2$ 可得： $\left|\frac{2(t+1)}{t-1}\right|=2⟹\left|\frac{t+1}{t-1}\right|=1$. 因为 $t\ne \pm 1$，所以 $\frac{t+1}{t-1}=1$（无解，因 $t+1=t-1⟹1=-1$）或者 $\frac{t+1}{t-1}=-1$. 解得 $t+1=-(t-1)⟹t+1=-t+1⟹2t=0⟹t=0$. 当 $t=0$ 时，直线方程为 $y=kx$，该直线恒过原点 $(0,0)$. 综上所述，直线 $l$ 经过定点 $(0,0)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆方程、直线与圆锥曲线交点、韦达定理、定点问题。
2. 核心方法：设直线方程联立、弦长与交点横坐标转化法。
3. 避坑指南：在处理分式绝对值时，注意利用 $t\ne 1$ 约去公因式 $(t-1)$，防止漏解或增根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第19题。
2. 结论推广: 圆锥曲线中动直线过定点问题的经典代数化简范式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-21 解-向量垂直直径性质
• 2010-江苏卷-18 解-椭圆轨迹与定点
• 2011-山东卷文-22 解-椭圆定点与对称