2007-广东卷文-03 单-奇偶性与单调性判定

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 若函数 $f(x)=x^3$（$x\in \mathbb{R}$），则函数 $y=f(-x)$ 在其定义域上是 ()

A. 单调递减的偶函数　　　　　　　　　　　B. 单调递减的奇函数

C. 单调递增的偶函数　　　　　　　　　　　D. 单调递增的奇函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=f(-x)=(-x{)}^3=-x^3$。
2. 奇偶性：$g(-x)=x^3=-g(x)$，奇函数。
3. 单调性：$x$ 越大 $-x^3$ 越小，定义域上单调递减。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

令 $g(x)=f(-x)$，则 $g(x)=(-x{)}^3=-x^3$． 奇偶性：$g(-x)=x^3=-g(x)$，故 $g$ 是奇函数． 单调性：设 $x_1<x_2$，则 $x_1^3<x_2^3$，故 $g(x_1)=-x_1^3>-x_2^3=g(x_2)$，$g$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减． 综上，$y=f(-x)$ 是单调递减的奇函数，故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇偶性与单调性判定

核心方法：$y=(-x{)}^3=-x^3$：$g(-x)=-g(x)$ 奇；同增异减得减

避坑指南：先写出 $f(-x)$ 再判性质，别直接对 $x^3$ 下结论；奇函数的单调性在关于原点的区间上保持一致

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：幂函数 $x^3$ 的奇偶性与单调性属教材基本函数性质，广东卷常以复合 $f(-x)$ 形式设问

结论推广：$y=f(-x)$ 的图象是 $y=f(x)$ 关于 $y$ 轴的对称变换，单调性反向、奇偶性不变

方法推广：抽象变换函数 $y=f(-x)$、$y=-f(x)$ 的性质判断，一律先写出具体表达式再判定

🔗【关联脉络】

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